Etude du Code Secret de la Bible - Analyse détaillée

Quel est le bon modèle ? Cette question n'a pas de réponse indiscutable. Il est donc important d'être le plus objectif possible afin d'obtenir des résultats qui soient le reflet d'un choix lucide et impartial.

Le critère qui mesurera l'impression produite par un tableau utilisera la proximité des mots entre eux, car il est bien évident que plus le mot satellite est proche du mot principal et le croise, plus le tableau sera impressionnant. Il faudra donc pouvoir mesurer la proximité de deux mots. Mais nous verrons que cela n'est pas suffisant. Nous avons encore une série d'étape à suivre pour pouvoir estimer l'espérance d'un tableau de deux mots, et au fur et à mesure que nous avancerons nous expliquerons le choix que nous avons opéré pour mesurer "l'impression" d'un tableau.

Nous allons dresser le plan de la recherche permettant de mesurer un tableau à deux mots.

Nous désirons mesurer l'espérance d'un tableau qui présente deux mots. D'après le chapitre précédent nous savons déterminer l'espérance du mot principal (celui qui est le plus difficile à trouver dans le texte), il se peut que celui-ci ait une espérance de 15 comme de 0.01. Dans le premier cas cela signifie qu'on peut l'attendre probablement autour de 15 occurrences de ce mot, dans l'autre cas cela signifie qu'il y a peu de chances de le voir apparaître. En tout état de cause, il faut essayer de faire apparaître le mot satellite autour d'un des quelconques mots principaux trouvés. Il nous faut donc mesurer l'espérance de trouver le mot satellite à proximité d'un mot principal déjà connu. C'est ce qu'on appelle une espérance conditionnelle : "A la condition que le mot principal se trouve à telle position, l'espérance de trouver le mot satellite est de...". Voilà le travail qu'il nous reste à effectuer : supposons que nous ayons découvert une position et un saut de lettres tels qu'apparaît un mot principal, quelle est l'espérance de trouver le mot satellite à proximité de ce mot principal.

Pour pouvoir établir cette espérance conditionnelle, pour mesurer l'espérance de trouver un mot satellite à proximité d'un mot principal donné, nous allons suivre les 4 étapes suivantes :

1. La proximité de deux mots : nous avons vu que l'impression visuelle d'un tableau est très liée à la proximité des mots entre eux. Il faut donc construire une méthode qui permette de mesurer la distance des mots entre eux. Cela formera l'outil de base de notre travail.

2. Le nombre de positions dans un tableau fixé : nous avons vu dans le chapitre précédent - où l'on mesurait l'espérance d'un mot unique - que l'espérance découlait très rapidement du nombre de positions que peut prendre le mot principal. Il en est de même pour le mot satellite, son espérance est très étroitement liée au nombre de positions qu'il peut prendre. C'est ainsi qu'on va mesurer le nombre de positions que peut prendre un mot satellite à une proximité définie d'un mot principal dans un tableau fixé.

3. Le décompte des tableaux possibles : nous avons déjà vu, mais nous détaillerons à nouveau le fait qu'autour d'un mot principal donné il est possible de modifier un tableau par des glissements horizontaux ou verticaux. Cela permet de multiplier les chances de faire apparaître le mot satellite. Nous verrons quels sont tous les tableaux qui permettent de faire apparaître le mot satellite selon une "impressionnabilité" donnée. Et nous verrons comment les compter tous très exactement.

4. Le décompte des positions possibles : en disposant de tous les tableaux possible, on peut dénombrer toutes les positions possibles que peut prendre le mot satellite autour d'un unique mot principal. Seulement tous ces tableaux ont des positions qui se recoupent, il en résulte que le décompte des positions est loin d'être simple, mais il reste tout de même accessible.

Lorsque nous aurons effectué ces quatre étapes et que nous disposerons du nombre de positions possibles pour le mot satellite autour d'un mot principal donné au départ, il n'y aura qu'à déterminer son espérance par le même principe que pour le mot principal ; car c'est toujours le nombre de positions possibles que peut prendre un mot qui détermine quelle est son espérance.

Comment mesurer la distance entre deux mots ?

Dans un tableau où apparaît un mot principal et un mot satellite, nous désirons pouvoir mesurer la distance entre les deux mots ; or il y de nombreux choix possibles pour mesurer cette distance.

Le critère de mesure que nous choisissons est le suivant : la distance entre deux mots sera la plus petite distance entre le mot principal et la lettre la plus éloignée du mot satellite. Pour mieux comprendre, prenons un exemple de tableau :

Le mot 'second' est à la distance 7. 07 du mot 'principal' et le mot 'trois' est à la distance 7 du mot 'principal'.

Comment obtient-on cela ?

Quels que soient le tableau de deux mots - un mot principal et un mot satellite - on peut calculer la distance qui les sépare à l'aide de cette méthode. Cela nous permettra de définir ce qui est psychologiquement impressionnant dans un tableau.

Pourquoi avons nous fait ce choix plutôt qu'un autre ? Tout simplement parce qu'il est permet de rendre compte de deux notions importantes :

Plus cette distance est courte, plus le mot satellite est confiné près du mot principal ; et plus cette distance est longue, plus le second mot s'écarte du premier. C'est à partir de cette distance que nous allons estimer l'impression d'un tableau. Etait-ce le meilleur choix ? Je le crois, bien qu'il soit toujours discutable.

Voici quelques exemples de mots identiquement distants.

Premier tableau :

Deuxième tableau :

Troisième tableau :

Quatrième tableau :

Ce qui compte c'est la distance du mot principal à la lettre la plus éloignée du mot satellite.

Il serait peut-être possible d'affiner cette distance en la rendant encore plus réaliste. Ce ne serait pas très difficile et il y aurait plein de méthodes possibles. Seulement, chaque méthode sera toujours discutable, car le critère "d'impressionnabilité" variera énormément d'un individu à l'autre.

Le mot satellite peut-il apparaître à proximité du mot principal dans notre tableau ? Peut-il apparaître à une proximité que nous choisissons ? Il faudra pour cela commencer par savoir choisir une proximité. Maintenant que nous avons vu la distance séparant deux mots, cela est très simple. Dire que le mot satellite apparaisse à une proximité de 3 signifiera que la distance entre le mot principal et le mot satellite sera au pire 3 ; c'est à dire 3 ou moins. Regardons l'exemple ci-après : dire que le mot satellite apparaît une distance inférieure à 3 (ou à une proximité de 3) du mot principal revient tout simplement à dire que le mot apparaît à l'intérieur du trait en pointillé.

Il nous reste maintenant la plus grande part du travail : comment mesurer l'espérance que le mot satellite apparaisse à une proximité donnée d'un mot principal ?

Afin de rendre les explications plus faciles, étudions un exemple : à l'intérieur du tableau suivant, quelle est l'espérance de voir apparaître le mot 'deux' à une distance inférieure ou égale à 3 du mot 'premier'.

Si nous observons bien, nous nous apercevons que le mot 'deux' n'est pas présent à une distance inférieure ou égale à 3 du mot 'premier', mais cela ne nous empêche nullement de nous intéresser quand même à la question suivante : quelle est l'espérance de le voir apparaître dans un tel tableau à une distance inférieure ou égale à 3 ? En répondant à cette question, nous pourrons affirmer s'il est naturel ou non que le mot "deux" n'apparaisse pas ici. Comment procéder mathématiquement pour obtenir la réponse à une telle question ?

La question se décompose en plusieurs étapes :

1- Tout d'abord : quelles sont les lettres qui sont à une distance inférieure à 3 du mot 'premier' ?

2 - Puis quel est le nombre de positions que pourrait prendre le mot 'deux' à l'intérieur de l'ensemble de ces lettres ?

3 - La dernière étape serait : comment généraliser un tel procédé ?

Voici une ébauche sommaire de la réponse à ces questions :

Nous allons donc procéder à la simplification du problème. Cette estimation se fait en assimilant les lettres à des formes géométriques : on ne suppose plus qu'on a à faire à un tableau de lettres mais à une surface ; les lettres sont assimilées à des points et le mot principal est comme un trait supportant ces points. Voici un schéma qui représente tout cela :

Toute l'astuce réside dans le fait suivant. Nous disposons de la première lettre du mot représentée par la croix et il suffit de rechercher géométriquement quelles sont les deuxièmes lettres possibles. En effet lorsqu'une deuxième lettre est choisie, tout le mot est défini : il suffit de placer les lettres suivantes selon le même espacement. Le mot convient lorsque la dernière lettre est toujours inscrite à l'intérieur de la surface de recherche. On en déduit que les différentes positions possibles sont exactement celles dont la deuxième lettre est inscrite dans une forme identique à la surface de recherche, mais ayant une taille trois fois plus petite (c'est la forme qui est dessinée en gris). Nous appellerons cette petite forme grisée : la surface locale.

Détaillons un petit peu comment nous obtenons cette surface locale. Dans un mot de quatre lettres, il y a trois espaces. Si la deuxième lettre du mot est inscrite dans la forme grise, alors en prolongeant trois fois la même distance (comme cela est représenté sur le dessin ci-dessus), on obtient forcément que la quatrième lettre est à l'intérieur de la grande forme. Cela fonctionne bien car la surface locale est placée de façon à ce que la surface de recherche soit un agrandissement (une homothétie) de la surface locale. Le centre de l'agrandissement est exactement la première lettre du mot. Le rapport de l'agrandissement est 3 ; c'est le nombre d'espaces entre les lettres du mot. De cette façon, on peut visualiser le nombre exact de position qu'on peut construire en prenant n'importe quelle lettre comme première lettre du mot.

Jusque là le raisonnement est exact, nous n'avons pas encore fait d'estimation. L'estimation aura lieu lorsque nous allons évaluer le nombre de lettres à l'intérieur de la surface locale ou à l'intérieur de la surface de recherche.

Nous allons tout simplement dire que le nombre de lettres est correctement estimé par la surface de la forme concernée. En effet, si les lettres sont placées dans un tableau séparées d'un centimètre les unes des autres, on peut constater qu'il y a une lettre par cm². De cette façon, compter la surface d'une forme ou bien les lettres qu'elle contient revient environ au même. Cette estimation est une très bonne méthode simplificatrice, car les lettres sont réparties de façon uniforme dans toutes les surfaces que nous étudierons.

L'intérêt de cette méthode est de remplacer le décompte laborieux des lettres par un calcul de surface beaucoup plus élémentaire. La forme qui nous concerne présentement (voir figure ci-dessous) est relativement simple. Quel que soit le mot étudier, elle se décompose en trois parties : un rectangle et deux demi-disques qu'on peut voir ci-dessous.

.Avec ces résultats nous pouvons calculer la surface totale de la forme étudiée : si l'on appelle L la longueur qu'occupe le mot principal et d la distance de recherche, alors la surface de la figure est exactement : L. 2d + Pi.d². Cette formule permet d'évaluer le nombre de lettres contenues dans cette surface.

Si l'on essaie d'appliquer cette formule à l'exemple initial (cf. le tableau du chapitre : une difficulté d'exactitude) pour calculer le nombre de lettres qui sont à une distance inférieure à 3 du mot 'premier', on trouve Racine(6²+6²) x 2 x 3 + Pi x 3² = 79.2. Or en comptant nous en avions trouvé 83. Nous constatons que l'estimation est tout à fait honorable, surtout qu'il s'agit d'une petit surface de recherche ; en effet, plus la surface de recherche est grande, plus l'estimation sera exacte.

Si l'on essaie de critiquer cette méthode d'estimation, on peut trouver des cas où l'estimation n'est pas tout à fait bonne. Par exemple les tableaux où le mot principal apparaît verticalement et où la distance de recherche est proche d'un nombre entier sont les cas où l'estimation est la moins bonne. Mais cela n'a pas trop d'importance car, quoi qu'il en soit, dans tous les cas que nous utiliserons c'est une estimation qui reflétera bien l'ordre de grandeur ; et dans la plupart des cas l'estimation sera même très précise.

Essayons maintenant de déterminer précisément le nombre de positions possibles pour un mot satellite. Selon la méthode que nous avons décrite, choisissons une lettre quelconque parmi les lettres de la surface de recherche. Nous désirons déterminer le nombre de positions possibles pour un mot satellite de q lettres dont la première lettre est celle que nous venons de choisir. Essayons de construire la formule mathématique qui répond à cette question.

Nous avons vu que le nombre de positions possibles correspond au nombre de lettres inscrites dans la surface locale. Sur le nombre de lettres présentes dans la surface locale, il faudra tout de même en retrancher une, car la lettre initiale du mot n'est pas une deuxième lettre possible ; il ne faut donc pas la compter.

Prenons un exemple : Si le mot principal de 7 lettres occupe une distance de 10.5 ( L = 10.5 ), si la distance à laquelle on cherche est 3.5 ( d = 3.5 ) et si le mot satellite recherché possède quatre lettres ( q = 4 ), alors selon la formule que nous avons établie le nombre de lettres dans la grande forme est environ :

10.5 x 2 x 3.5 + Pi x 3.5² =111.98, soit 112 lettres.

Comme le second mot possède 4 lettres, il y a 3 espaces entre ses lettres. Comme nous l'avons vu, le nombre de secondes lettres se détermine facilement par la taille de la surface locale : 

10,5/3  x 2 x 3,5/3 + Pi. (3,5/3)² = 12.44 auquel il faut retirer 1.

Cela signifie qu'en moyenne il y a 11.44 positions possibles pour cette première lettre. On recommence l'opération pour chaque lettre pouvant être la première du mot satellite, c'est-à-dire pour toutes les lettres de la surface de recherche. On s'aperçoit qu'on fait exactement le même calcul pour toutes les lettres. Le nombre total de positions est donc donné par le produit du nombre de lettres de la surface de recherche multiplié par le nombre de positions possibles dans la surface locale. C'est donc le produit des deux valeurs que nous venons de calculer :

C'est le résultat qu'on cherchait.

Ce calcul se généralise pour une situation quelconque. Prenons :

- L la longueur qu'occupe un mot principal,

- q le nombre de lettre d'un mot satellite,

- d une distance de recherche,

alors le nombre de positions possibles où l'on peut trouver le mot satellite situé à une distance inférieure à d du mot principal se détermine par la formule suivante :

qui se simplifie pour donner la formule finale suivante :

Le nombre de positions possibles pour trouver un mot satellite à proximité d'un mot principal dans un tableau donné est estimé par :

nombre de positions =

Où :

- d est la distance de recherche

- q est le nombre de lettres du mot satellite

- L est la taille qu'occupe le mot principal.

(l'unité étant la distance entre deux lettres consécutives)

Par ce procédé, on peut calculer le nombre de positions d'un mot satellite à proximité d'un mot principal dans n'importe quel tableau où l'on voit apparaître le mot principal.

Ensuite, il suffit de se rappeler que lorsqu'on connaît l'espérance d'apparition d'un mot et le nombre de positions possibles, alors le produit de ces deux nombres donne l'espérance de voir apparaître ce mot. En calculant l'espérance du mot satellite à partir de ses lettres comme nous l'avons déjà vu et en calculant le nombre de positions possibles à partir de la formule que nous venons d'établir, nous pouvons connaître l'espérance de faire apparaître le mot satellite à proximité du mot principal à l'intérieur de n'importe quel tableau donné.

Nous avons obtenu le résultat que nous cherchions. Mais ce résultat nous donne l'espérance d'un mot satellite à l'intérieur d'un seul tableau. Or dans un même texte de 305 000 lettres, le même mot principal peut apparaître dans un très grand nombre de tableaux différents, dans chacun desquels pourra apparaître le mot satellite

Il faut donc commencer par faire le compte des différents tableaux possibles. Ce travail n'est pas extrêmement compliqué. Il n'y a que deux façons de faire apparaître différents tableaux autour du même mot principal :

Revoyons brièvement ces méthodes en fixant une terminologie appropriée :

Lorsqu'on a trouvé un mot à l'intérieur d'un texte par le procédé du saut de lettres, il est toujours possible de le faire apparaître verticalement dans un tableau. Pour cela il suffit de construire un tableau ayant comme largeur la taille du code (c'est-à-dire le nombre du saut de lettre) dans lequel on a trouvé le mot. Si par exemple on a trouvé le mot 'premier' dans un code 5040, il suffit de construire un tableau de 5040 lettres de large et le mot 'premier' apparaîtra alors verticalement. Evidemment nous ne présentons pas les 5040 lettres qui forment chaque ligne, mais uniquement les lettres qui sont autour du mot.

Voici le tableau :

Il faut comprendre qu'il est possible de construire d'autres tableaux en utilisant le même mot principal. Par exemple, il suffit de construire un tableau de largeur 2520 (qui est la moitié du précédent). On obtient alors un nouveau tableau où le mot 'premier' apparaît toutes les deux lignes.

Voici le même mot mais dans un tableau de 2520 lettres de large (on ne représente évidemment pas toutes les lettres non plus) :

On dira dans ce cas qu'on a procédé à un glissement vertical de 2 lettres. Le tableau original correspond à un glissement vertical de 1 lettre, c'est-à-dire que les lettres sont consécutives.

En construisant un tableau de largeur 1680, on obtiendrait le même mot avec cette fois-ci un glissement vertical de 3 lettres, etc_

Ce procédé du glissement vertical apporte beaucoup de positions supplémentaires lorsqu'on cherche à faire apparaître un mot satellite auprès d'un mot principal donné. En effet toutes les lignes intermédiaires apportent des lettres nouvelles et chaque lettre nouvelle permet beaucoup de combinaisons supplémentaires possibles.

En reprenant l'exemple précédent, nous allons voir qu'il est possible d'effectuer aussi des décalages horizontaux. Reprenons notre tableau de 5040 lettres de large :

En construisant le même tableau avec cette fois-ci 5041 lettres de large, on obtiendrait le tableau suivant :

On dira qu'on a construit un tableau avec un glissement horizontal de 1 lettre. Le tableau d'origine ne contient évidemment aucun glissement horizontal. On pourrait aussi construire un tableau de 5039 lettres de large qui sera aussi un tableau avec un glissement horizontal de 1, mais cette foi-ci dans l'autre inclinaison. Le tableau de 5042 lettres de large ferait apparaître le mot 'premier' avec un glissement horizontal de 2. Etc...

Comme nous l'avons vu, la technique du glissement horizontal permet de rapprocher certains mots satellites. Un tableau avec des glissements horizontaux permet aussi la fabrication de quelques positions supplémentaires.

Rappelons-nous la question qui nous intéresse : quelle est l'espérance de voir apparaître un mot satellite donné à proximité d'un mot principal donné ? Pour pouvoir répondre à cette question, il faut commencer par répondre à celle-ci : lorsqu'on désire estimer un tableau où apparaissent un mot principal et un mot satellite, quels sont tous les autres tableaux qui lui sont équivalents ? (Nous appelons tableaux équivalents, des tableaux contenant les mêmes mots qui ont la même impression).

En effet, lorsqu'on ne se limite pas à chercher autour d'un mot principal dont la position est fixée, mais qu'on s'autorise la recherche dans tous les tableaux équivalents, les chances de trouver le mot satellite augmentent considérablement. Il faut poser un critère de comparaison qui donne une échelle de comparaison, un critère mesurant l'impression que procure un tableau.

Les problèmes se résolvent lorsqu'on se pose les bonnes questions. La bonne question à se poser ici est la suivante : en considérant deux tableaux différents contenant le même mot 'premier', où placer le mot satellite dans chacun des tableaux pour que ces deux tableaux offrent la même impression visuelle ? La question peut se résumer à : comment définir mathématiquement "la même impression" ?

Dans les deux tableaux suivants le mot satellite est à la même distance de recherche :

Premier tableau :

Deuxième tableau :

Dans chacun de ces tableaux, le mot satellite apparaît à la distance 8 du mot principal. Or il apparaît que le premier tableau est nettement plus impressionnant que le second où le mot 'premier' apparaît avec un glissement vertical de 2 lettres. C'est un exemple qui montre que la distance entre les mots n'est pas suffisante pour estimer l'impression d'un tableau.

La notion de distance du mot satellite au mot principal n'est pas suffisante pour exprimer "la même impression". On peut alors se demander si le critère le plus naturel n'est pas " l'espérance de trouver le mot satellite " ? En effet, plus l'espérance de trouver un mot satellite est petite, plus l'impression semble forte, non ? Deux tableaux ayant même espérance ont-ils même impression ? Et bien là encore, la réponse est non ! Ce n'est pas non plus un critère recevable. En effet, l'espérance est directement déterminée par le nombre de positions possibles pour le mot satellite ; et un tableau très allongé qui a le même nombre de positions qu'un tableau très compact (et donc la même espérance) n'est pourtant pas aussi impressionnant.

En voici un exemple : les deux tableaux suivants ont pratiquement la même espérance de voir apparaître le mot satellite 'deux' à proximité du mot principal 'premier':

Premier tableau :

Et voici le second tableau :

Le second tableau, beaucoup plus étalé, est clairement moins impressionnant que le premier et pourtant _ l'espérance du second tableau est plus faible que celle du premier. Pour le constater, il suffit d'utiliser les formules que nous avons établies qui permettent de mesurer l'espérance d'un tableau.

L'espérance n'est donc pas un critère satisfaisant. Et cette constatation est importante, car en général l'usage naturel des mathématiques veut que l'impression d'un événement soit étroitement liée avec son espérance mathématique. Or les tableaux que nous étudions ne suivent pas cette règle intuitive. Ce critère donnerait des espérances beaucoup trop élevées par rapport à la réalité.

Il faut donc déterminer comment peut être mesurée l'impression visuelle d'un tableau _ et ce n'est pas très facile.

Plusieurs critères de comparaison sont possibles, c'est pourquoi il faut être très lucide en faisant notre choix. Il ne faut pas choisir un critère qui forcera les résultats à notre avantage. Sur ce point, le choix de l'espérance comme critère aurait été très avantageux, il aurait produit des résultats très élevés pour les tableaux.

Il faut bien comprendre ce qui impressionne réellement dans un tableau. Il y a un élément que probablement tout le monde acceptera de prendre en compte : c'est la compacité du tableau. Un tableau très allongé, très étendu (dans une direction quelconque) est moins impressionnant qu'un tableau compact, ramassé ; même si ces derniers ont la même espérance, nous en avons vu un exemple dans le dernier chapitre. C'est un fait important de considérer la compacité sinon il serait possible d'augmenter considérablement l'espérance en autorisant des dizaines de glissements verticaux qui offriraient d'innombrables positions nouvelles.

L'impression d'un tableau est donnée par son aspect global : moins un tableau est étalé, plus il est ramassé, plus le tableau est impressionnant. Il serait alors logique d'utiliser la compacité comme critère de comparaison. La compacité peut se mesurer en calculant tout simplement la plus grande distance entre deux lettres des mots du tableau, plus courte est cette distance, plus grande est la compacité.

Mais le choix de la compacité - c'est-à-dire la distance maximale entre les lettres des mots - n'est pas un critère convenable. Voici un exemple qui montre que la compacité ne suffit pas à elle seule pour définir l'impression d'un tableau. Voici deux tableaux :

Premier tableau :

Deuxième tableau :

Si l'on observe ces deux tableaux, je pense que chacun s'entendra pour dire que le second est clairement plus impressionnant que le premier. Mais si l'on mesure la compacité, le premier tableau mesure 12.53. En effet, la compacité est la plus grande distance qu'on peut trouver entre deux lettres du tableau. Les lettres les plus éloignées sont le 'd' du mot 'deux' et le 'p' du mot 'premier' (le 'r' final du mot 'premier' conviendrait aussi) ; il suffit alors de mesurer la distance par le théorème de Pythagore et on trouve 12.53. Par la même méthode, on trouve que la compacité du second tableau est de 13.15. Ainsi, le second tableau, qui est le plus impressionnant, est pourtant le moins compact.

Cet exemple démontre que la compacité, à elle seule, ne suffit pas à définir l'impression de deux tableaux. En même temps que la compacité, la distance de recherche possède aussi un rôle d'impression psychologique, ce qui va nous conduire naturellement au choix développé dans le paragraphe suivant.

Malgré la difficulté qui existe à enfermer l'impression psychologique "d'impressionnabilité", il faut faire un choix qui permettra de faire les calcul. Nous ne détaillerons pas à l'excès ce qui nous a conduit au choix suivant, mais disons qu'il est un compromis entre la juste impression psychique et la simplicité ; ce qui permet de ne pas trop s'étendre en débats insolubles.

Le choix qu'on fera pour définir l'impression d'un tableau est le suivant : deux tableaux contenant le même mot principal et le même mot satellite seront considérés comme identiquement impressionnants si les longueurs maximales de recherche sont les mêmes. Nous définissons précisément la longueur maximale de recherche par la valeur : L+2d, où L est la taille qu'occupe le mot principal et d la distance de recherche.

Il faudra bien retenir ce critère permettant de comparer les tableaux entre eux : on dira que deux tableaux contenant les mêmes mots seront identiquement impressionnants si la longueur maximale de recherche est la même ; un des deux tableaux sera plus impressionnant que l'autre si sa longueur maximale de recherche est inférieure. Plus la longueur maximale de recherche est petite, plus le tableau est impressionnant. Cela revient à dire que l'impression d'un tableau provient de la hauteur de la surface de recherche. L'intérêt de ce critère est qu'il prend en compte en même temps la compacité et la proximité des mots.

Voici trois exemples de tableaux ayant pratiquement la même longueur maximale de recherche. Suivant notre modèle ces deux tableaux sont donc identiquement impressionnants car L+2d est pratiquement constant dans les trois cas. Ce choix semble à peu près convenable, même s'il est toujours discutable. Observons l'effet rendu :

Premier tableau :

Deuxième tableau :

Voici encore un troisième tableau qui a pratiquement la même longueur maximale de recherche, donc pratiquement la même impression :

Il est bien évident que nous ne pourrons pas établir un modèle complètement satisfaisant pour définir l'impression d'un tableau. En effet, notre choix présente aussi quelques désavantages. La beauté d'un tableau dépend beaucoup de l'impression psychologique perçue par chacun. On pourrait toujours ajouter d'autres facteurs qui interviennent dans la perception du tableau. Mais l'intérêt de notre choix est un équilibre entre la simplicité et le nombre des facteurs qui interviennent ; en augmentant le nombre de facteurs, on risquerait de produire des désaccords. De toute façon même si notre choix n'était pas le meilleur, un autre choix lucide devrait être quantitativement à peu près équivalent et produire, à la fin, des résultats mathématiques à peu près semblables.

Maintenant que nous avons vu comment estimer l'impression des différents tableaux, revenons à notre question initiale : lorsque nous sommes devant un tableau comportant un mot principal et un mot satellite, nous désirons en déterminer l'espérance. Il faut bien comprendre le point suivant : il ne suffit pas de calculer l'espérance du tableau considérer, il faut calculer l'espérance de trouver n'importe quel tableau équivalent. Il faut estimer toutes les situations possibles où le mot principal et le mot satellite sont à la proximité recherché l'un de l'autre. En effet ce qui compte, lorsqu'on cherche à savoir si un des tableaux publiés par Drosnin est une conséquence naturelle du hasard ou non, ce n'est pas de savoir si précisément le tableau publié peut être trouvé, mais c'est de savoir si l'on peut trouver un tableau contenant les mêmes mots qui ait la même impression, quelle que soit sa position a priori.

C'est ainsi que pour étudier l'espérance d'un tableau, il faut comptabiliser tous les tableaux vérifiant les conditions suivantes :

A partir de ces tableaux, il sera possible de compter toutes les configurations différentes où les deux mots étudiés peuvent apparaître à proximités l'un de l'autre.

Afin d'y voir clair, résumons notre démarche depuis le départ; elle se passe en trois temps :

Nous en sommes à la deuxième étape ; il faudra établir, à partir d'un mot principal donné, quels sont tous les tableaux que nous pouvons construire ? Il suffit de procéder à des glissements verticaux et horizontaux. Mais une remarque possède toute son importance : il n'est pas possible de faire autant de glissements qu'on le veut, car la distance de recherche doit être constante. Or en procédant à des glissements, la taille du mot principal s'allonge et par voie de conséquence on dépasse très vite la longueur maximale de recherche. Il faudra prendre en compte tous ces paramètres qui ont un rôle dans les calculs. Nous verrons qu'il est possible, pour faire le décompte de tous les tableaux, d'utiliser une simplification.

Dans la troisième étape, pour calculer l'ensemble des positions possibles du mot satellite, il semblerait naturel de faire la somme des positions qu'on trouve dans chacun des tableaux comptabilisés à la deuxième étape. Mais la réalité n'est pas si simple ; certaines positions se trouvent dans plusieurs tableaux différents et il ne faut pas les compter deux fois. En voici un exemple : les deux tableaux suivants sont construits autour du même mot principal. Le premier tableau a comme largeur (réelle et non visible) la taille du code du mot principal (le nombre de lettres qu'il faut sauter pour trouver la lettre suivante), ce qui conduit à trouver ce mot positionné verticalement. Le second tableau a comme largeur la taille du code divisé par deux, ce qui conduit à un glissement vertical de 2 lettres (on dira dans le premier tableau qu'il y a un glissement vertical d'une lettre). Dans ces deux tableaux, on peut constater qu'il existe une position où l'on retrouve le même mot 'deux' ; dans chacun des tableaux, ce mot est fait avec exactement les mêmes lettres du texte de départ. La présentation du mot est différente uniquement parce que la largeur de tableau qu'on a choisie est différente.

Premier tableau :

Dans le second tableau où l'on a un glissement de 2 lettres, on retrouve aussi exactement le même mot 'deux' qui n'a pas disparu :

Ainsi pour calculer le nombre total de positions présentes dans tous les tableaux, il n'est pas possible d'ajouter séparément les positions de chaque tableau, sinon certaines positions seraient comptées plusieurs fois.

Après avoir dressé un aperçu du travail qui nous reste à faire, revenons-en à la deuxième étape de notre recherche : compter tous les tableaux équivalents autour d'un même mot principal.

Comment s'y prendre ? Si l'on voulait être très précis dans les comptes des tableaux, le travail se compliquerait énormément. C'est la raison pour laquelle nous allons procéder à nouveau à des petites simplifications : nous ne compterons pas toutes les positions possibles, nous en compterons un peu moins. Les résultats que nous obtiendrons seront donc un peu sous évalués. Ce n'est pas grave car nous voulons montrer que les tableaux proposés dans le livre de Drosnin sont tout à fait probables, qu'ils n'ont rien d'exceptionnels. Si les résultats que nous trouvons sont probables, alors les résultats que nous trouverions par un calcul plus précis le seraient davantage.

Pourquoi est-il nécessaire de faire une simplification ? Simplement parce que nous aurions de très nombreux calculs à fournir pour chaque tableau ; nous aurions besoin de concepts mathématiques nettement plus compliqués. Nous allons montrer qu'avec des mathématiques simples, il est possible de démontrer le résultat attendu.

La simplification consiste à ne pas compter parmi tous les tableaux ceux qui sont des glissements horizontaux les uns des autres. Nous ne compterons parmi l'ensemble qu'un seul d'entre eux, celui qui contient le plus de positions.

En fait, entre deux tableaux qui sont des glissements horizontaux l'un de l'autre, il y a énormément de positions qui se recoupent, et c'est un très grand travail de savoir lesquels ne se recoupent pas (d'autant plus qu'il n'y en a pas beaucoup).

Il est donc inutile de mettre en _uvre des techniques difficiles pour obtenir des résultats à peine supérieurs.

Pour parvenir à la meilleure estimation possible, il faut déterminer, parmi tous les tableaux de même impression qui sont des glissements l'un de l'autre, lequel contient le plus de positions ? Et bien, c'est tout simplement celui dont la distance de recherche est la plus grande.

Afin de bien comprendre ce principe, ayons en tête la notion de "longueur maximale de recherche" qui doit rester constante dans un tableau. On peut trouver cette notion dans le paragraphe : le critère de comparaison des tableaux. On peut constater que, pour des tableaux de même impression, plus le mot principal est oblique (plus le glissement horizontal est important), plus la place qu'il occupe est grande et plus la distance de recherche est forcément petite. Les deux paramètres varient dans un sens opposé ; cela est nécessaire pour que l'impression reste identique. Pour que des tableaux conservent la même impression lorsque la taille du mot principal s'allonge, la distance de recherche doit diminuer. Et de même lorsque la taille du mot principal se rétracte, le distance de recherche doit s'allonger.

Or il faut constater que pour une longueur maximale de recherche constante, plus la surface est compacte (ronde), plus elle est importante. La surface est donc maximale lorsque le mot principal est le plus réduit possible, c'est-à-dire lorsqu'il est placé le plus verticalement possible. C'est une constatation naturelle que nous ne démontrerons pas : un objet plus rond possède plus de surface qu'un objet plus allongé lorsqu'ils ont une même hauteur.

A partir de cette simplification, nous allons établir une estimation des positions. Lorsqu'un mot principal ne sera pas vertical, nous le ramènerons au maximum à la verticale par le procédé du glissement horizontal. Pour faire une simplification uniforme, nous supposerons que le mot principal peut être ramené entièrement à la verticale dans tous les tableaux. Bien que cela ne soit pas toujours possible (lorsque le code du mot principal n'est pas divisible par le nombre de glissement vertical, il n'est pas possible de ramené le tableau à la verticale). On pourrait penser que cela conduit à une surestimation. Mais il n'en est rien car - vu le nombre important de positions qui ne sont pas comptées en négligeant les tableaux obliques - le petit gain de surface apporté par la verticalisation d'un tableau dans les cas impossibles est vraiment négligeable. Quels que soient les tableaux, les comptes effectués seront une sous-évaluation du nombre de positions possibles.

Nous effectuerons les calculs uniquement sur les tableaux où le mot principal est vertical, car cela simplifie les calculs. Le mot principal peut non seulement être disposé verticalement tout en conservant la même impression, mais il peut aussi subir une réduction verticale de telle sorte qu'il occupe une place minimale. Ce tableau particulier dont le mot principal occupe le minimum de place, nous lui donnerons le nom de tableau verticalisé-réduit. Evidemment dès qu'on transforme un tableau, il est nécessaire de changer la distance de recherche pour conserver la même impression.

Pour nous aider à comprendre cette verticalisation et cette réduction, voici un exemple de tableau qu'on pourrait avoir à étudier. Supposons de plus que la distance de recherche sur ce tableau est 1.5 :

Le tableau verticalisé-réduit est le tableau où le mot 'grand' apparaît verticalement avec des lettres consécutives. Et pour conserver la même impression selon le critère que nous avons posé, il faut calculer la distance de recherche du tableau verticalisé-réduit. Pour calculer cette distance, il suffit de procéder par la méthode suivante : La taille qu'occupe un mot verticalisé-réduit est très facile à déterminer à partir du nombre de lettres du mot : elle est égale au nombre de lettres du mot moins 1. Appelons V cette taille (dans notre exemple V = 4). Soit g la taille du glissement horizontal : c'est le nombre de glissements horizontaux entre deux lettres consécutives du mot (dans notre exemple g = 3). Et soit b le nombre de glissements verticaux (b=2). Par le théorème de Pythagore, on trouve que le mot oblique initial occupe la place suivante : V x Racine(g²+b²) . Lorsqu'on verticalise et qu'on réduit le tableau ci-dessus, on obtient le nouveau tableau suivant où la distance de recherche est environ 6.7.

Dans le tableau initial appelons la distance de recherche d (dans notre exemple d=1.5). Pour construire le tableau verticalisé-réduit offrant la même impression que ce tableau oblique initial, on commence par réduire et par verticaliser le tableau en choisissant la bonne largeur de tableau (réelle, et non apparente).

C'est ce que nous avons construit dans le tableau suivant:

Il faut ensuite calculer quelle doit être la nouvelle distance de recherche d' afin de conserver la même impression. D'après la règle de comparaison des tableaux que nous avons établie, il faut que la longueur maximale de recherche reste constante. Or la longueur maximale de recherche pour chacun des tableaux, c'est la somme de la place qu'occupe le mot principal augmentée de deux fois la distance de recherche. L'égalité qui permet de conserver la même longueur maximale de recherche s'écrit donc :

En transformant cette expression, on en déduit que :

La nouvelle distance de recherche d' lorsque le mot principal est verticalisé et réduit est

Où :

- d est la distance de recherche pour le tableau d'origine.

- V est la longueur qu'occupe le mot principal vertical, c'est le nombre de lettres du mot moins 1.

- g est le nombre de glissements horizontaux entre deux lettres consécutives dans le mot original.

- b est le nombre de lignes qu'il faut compter vers le bas d'une lettre à l'autre dans le mot original.

Ce tableau verticalisé-réduit est le tableau le plus compact qu'on puisse construire à partir du mot principal tout en conservant la même impression.

Nous avons vu que nous nous intéresserons uniquement aux tableaux dont le mot principal est vertical, car cela facilite les calculs. Nous cherchons à déterminer tous les tableaux (identiquement impressionnants au tableau initial) qui offrent de nouvelles positions possibles. Pour les trouver, il faut commencer par construire le tableau le plus compact (le tableau verticalisé-réduit). Les autres tableaux qui nous intéressent proviendront de ce tableau verticalisé-réduit par glissements verticaux. Une question naturelle se pose alors : jusqu'à combien de glissements verticaux peut-on étirer le mot tout en conservant un tableau qui soit identiquement impressionnant ? C'est-à-dire : combien de lignes peut-on sauter au maximum ? En disposant de cette réponse, nous connaîtrons tous les tableaux verticaux possibles ayant la même impression que celui de départ. Or la réponse s'impose pratiquement d'elle-même : on arrête d'étirer le tableau lorsque celui-ci devient trop étroit pour construire de nouvelles positions.

Le choix étant fait, calculons le nombre maximal de glissements : on se sert de d', c'est-à-dire la distance de recherche du tableau verticalisé-réduit. Appelons n le nombre de glissements verticaux maximum qu'on recherche.

Pour trouver la valeur de n, il suffit d'écrire la règle de même impression en calculant la longueur maximale de recherche pour le tableau verticalisé-réduit et pour le tableau étiré au maximum. Comme d'' =1, on obtient l'égalité suivante : où V est la place qu'occupe le mot principal dans le tableau verticalisé-réduit. On en déduit la formule suivante :

Le nombre maximal de glissements verticaux est :

Où :

- V est la taille du mot principal lorsqu'il est vertical et réduit.

- d' est la distance de recherche lorsque le mot principal est vertical et réduit

- la notation Ent[ ] signifie qu'on prend la partie entière (le plus petit nombre entier inférieur) de ce qui est entre crochet. En effet un résultat de 4.7 devra être arrondi à 4 car il n'est pas possible de sauter des demi-lignes

Une valeur de n = 1 signifierait qu'il n'est pas possible de construire d'autres tableaux que le tableau verticalisé-réduit tout en voulant conserver une impression semblable au tableau original.

En prenant la partie entière, nous faisons encore une sous-évaluation des résultats. Il ne faut tout de même pas penser que les résultats que nous obtiendrons sont très loin des résultats exacts, car les sous-évaluations ne sont pas grossières. Elles concernent toujours une petite partie du résultat. Nous pouvons penser que nos résultats seront très probablement inférieurs aux résultats réels, mais qu'ils seront tout de même assez significatifs de la réalité.

Si des résultats sous-évalués affirment que les tableaux sont normaux, alors des résultats précis affirmeraient d'autant plus la chose. Il n'est donc pas gênant de procédé à des petites simplifications qui finalement ne gêneront pas la démonstration.

Nous venons de calculer le nombre de glissements verticaux maximal. Cela signifie que pour un mot principal donné, on peut définir tous les tableaux verticaux qui lui sont identiquement impressionnants.

Nous allons étudier ces glissements verticaux plus en détail afin de déterminer le nombre total de positions que peut prendre un mot satellite dans tous les tableaux d'impression semblable. La tâche n'est pas des plus faciles ; c'est peut-être une des explications les plus difficiles de notre exposé. Il faudra être bien attentif.

Nous allons travailler sur un exemple. Pour tout tableau où apparaît un mot principal et un mot satellite, nous savons déterminer la distance de recherche en mesurant la distance entre le mot principal et le mot satellite. Dans le tableau suivant, qui nous servira d'exemple, le mot principal est 'mots' et le mot satellite est 'ici'. On calcule que la distance de recherche est égale à 3.6.

Voici le tableau initial qui est une tranche d'un tableau de 1801 lettres de large :

Comme nous l'avons vu, l'ensemble des tableaux où l'on va compter les positions possibles sont les tableaux verticaux. Si l'on en fait le décompte, ils commencent par le tableau verticalisé-réduit et finissent par le tableau de glissement vertical maximal.

Pour construire le tableau verticalisé il suffit de fabriquer le tableau de largeur 3600 et de prendre la partie où apparaît le mot principal. C'est ce que nous avons fait ci-dessous. En connaissant la distance de recherche du tableau oblique initial qui est d'environ 3.6, nous pouvons construire le tableau verticalisé-réduit dont la distance de recherche d' se calcule par une formule que nous avons établie avant. Le résultat est 6.3

Voici le tableau verticalisé-réduit (largeur du tableau 3600) ; on a dessiné chaque lettre sur un fond gris :

Par la formule que nous avons construite, nous pouvons déterminer que le nombre de glissements verticaux maximal est de 4. Voici donc les différents tableaux verticaux qu'on peut construire par le procédé du saut de lignes :

Le tableau correspondant à 2 glissements verticaux (largeur du tableau : 1800). Afin de reconnaître les lettres présentes dans le tableau verticalisé-réduit, on les a placées sur un fond gris. Les autres lettres sont de nouvelles lettres qui proviennent de la réduction de largeur du tableau de 3600 à 1800 :

Le tableau correspondant à 3 glissements verticaux (largeur du tableau : 1200) Afin de reconnaître les lettres présentes dans le tableau verticalisé-réduit, on les a placées sur un fond gris. Les autres lettres sont de nouvelles lettres qui proviennent de la réduction de largeur du tableau de 3600 à 1200 :

Le tableau correspondant à 4 glissements verticaux (largeur du tableau : 900). Afin de reconnaître les lettres présentes dans le tableau verticalisé-réduit, on les a placées sur un fond gris foncé. On peut aussi voir sur fond gris clair les lettres qui sont apparues dans le tableau à 2 glissements verticaux. Les autres lettres (une ligne sur 2) sont de nouvelles lettres qui proviennent de la réduction de largeur du tableau de 3600 à 900.

Et l'on s'aperçoit que c'est bien le dernier tableau possible :

Cet exemple est instructif pour tirer des leçons : en observant, on peut généraliser que dans un tableau à b glissements verticaux, on a b-1 lignes sur b qui sont faites de lettres nouvelles qui n'étaient pas dans le tableau verticalisé-réduit. En fait, ce n'est pas exactement b-1 lignes sur b qui sont nouvelles, il y a une petite fluctuation possible due à la position des bords. Mais en moyenne, ce résultat est exact. De plus, pour une distance de recherche assez grande, une telle approximation est même précise. Nous adopterons donc le fait que, dans un tableau à b glissements verticaux, 1 ligne sur b était présente dans le tableau verticalisé-réduit.

On peut voir que dans le tableau à 4 glissements verticaux, on retrouve le tableau à 2 glissements verticaux, 1 ligne sur 2 (les lignes grises ainsi que les lignes gris clair). Cela vient du fait que 4 est un multiple de 2. Plus généralement à chaque fois qu'on a deux tableaux dont les glissements verticaux ont un diviseur commun, il existe des lignes communes dans les tableaux.

Nous désirons connaître le nombre total de positions possibles pouvant être recensées dans tous les tableaux d'impression semblable. Il faut compter les positions dans le tableau verticalisé-réduit, puis dans le tableau à 2, à 3, et enfin à 4 glissements verticaux. Dans d'autres situations, on peut aller encore plus loin. Pour compter toutes les positions différentes, il faut procéder méthodiquement.

On peut en effet remarquer que beaucoup de positions se retrouvent dans les différents tableaux.

Pour compter toutes les positions, il faut commencer par compter les positions du tableau verticalisé-réduit. Pour faire cela, nous avons une formule qui estime les positions en fonction de la surface de recherche (pour retrouver la formule, on pourra se reporter au paragraphe : "Le nombre de positions possibles pour le second mot").

Ensuite il faut compter les positions du tableau à 2 glissements verticaux. Le nombre de positions possibles dans ce tableau s'obtient par la même formule. Seulement, si on ajoute ces positions aux précédentes, il y a beaucoup de positions qui seraient comptées deux fois car beaucoup de positions du tableau à 2 glissements sont aussi présentes dans le tableau verticalisé-réduit.

Bien que ce tableau contienne les mêmes lettres que le tableau verticalisé-réduit, il en diffère par deux points :

- La largeur de la surface de recherche n'est pas la même que celle du tableau verticalisé- réduit ; c'est exactement celle du tableau à 2 glissements.

- La hauteur de recherche (la longueur maximale de recherche) est divisée par 2. En effet, tous les tableaux que nous avions construits avaient la même hauteur (pour respecter le principe de même impression). En prenant 1 ligne sur 2 dans le tableau à 2 glissements, on obtient approximativement la hauteur divisée par 2 ; ce qui conduit à une surface valant environ la moitié de la surface de recherche du tableau à 2 glissements. Dans un souci de simplification, nous considérerons que la surface est vraiment divisée par 2, car l'approximation est bonne dans la moyenne des situations (ainsi les petites erreurs se compenseront les unes avec les autres). Cette simplification nous permettra de calculer plus facilement la surface de ce tableau.

Le nombre de positions possibles dans ce tableau nous donnera les positions communes au tableau verticalisé-réduit et au tableau à 2 glissements. Or le nombre de positions est estimé au moyen des surfaces comme nous l'avons déjà vu dans le chapitre : "Le nombre de positions possibles pour le second mot".

Nous n'allons pas reconstruire ici le même raisonnement que nous avions élaboré dans ce chapitre car c'est exactement la même construction. La seule différence ici est que toutes les hauteurs des surfaces mises en jeu sont divisées par 2. Il suffit de reconstruire la formule que nous avions trouvée en la modifiant très légèrement : il faut diviser par 2 toutes les surfaces. On obtient ainsi la formule suivante :

Nombre de positions communes =

Ce qui donne le résultat suivant lorsqu'on simplifie :

Nombre de positions communes =

Pour comptabiliser le nombre total de positions différentes des deux premiers tableaux, il faut faire la somme des positions de chacun des tableaux, puis retirer les 76.4 positions que l'on compte deux fois.

Il faudra reproduire cette même méthode pour chaque nouveau tableau. C'est ainsi que l'on construit une méthode pour le cas général :

- Commençons par calculer la distance de recherche d'un tableau à n glissements verticaux. Si V est la longueur qu'occupe le mot verticalisé-réduit - c'est-à-dire le nombre de lettres du mot principal moins 1 - et si d est la distance de recherche pour ce mot vertical, alors le mot principal du tableau à n glissements verticaux occupera tout simplement la taille V.n.

Il faut remarquer qu'il n'est pas toujours possible d'effectuer n glissements verticaux. En effet, un glissement vertical se construit en réduisant la largeur réelle du tableau. Si la taille du Code Secret n'est pas divisible par n, il n'est pas possible d'imposer que le tableau avec n glissements soit vertical ; dans ce cas, si l'on cherche à sauter n lignes, le mot principal est forcément oblique. Nous ferons nos calculs comme si nous pouvions toujours supposer le mot principal vertical. Cette supposition ne modifie pas sensiblement les résultats, qui sont par ailleurs sous-évalués.

Où :

- d est la distance de recherche du tableau verticalisé-réduit

- V est la taille du mot principal dans le tableau verticalisé-réduit (c'est le nombre de lettres moins 1)

- Déterminons ensuite une formule générale qui permet de calculer les positions communes à deux tableaux. La formule est analogue à celle que nous avons construite pour les deux premiers tableaux.

Par la même technique que précédemment, on obtient la formule suivante :

Où :

- q est le nombre de lettres du mot satellite.

La formule que nous venons d'établir permet de calculer les positions du mot satellite pour de nombreux types de tableaux. Il faut maintenant étudier comment utiliser cette formule pour comptabiliser toutes les positions possibles.

En seconde remarque, il faut bien comprendre que tous ces calculs que nous proposons supposent que le mot principal ait un code secret assez large afin de pouvoir procéder à suffisamment de glissements verticaux en ayant toujours assez de nouvelles lettres disponibles. Ils supposent qu'il y a toujours assez de lettre pou former n'importe quel tableau, ce qui n'est en réalité pas toujours vrai. Mais nous intégrerons dans notre modèle cette supposition que la taille du code est assez large, qu'il y a toujours assez de lettres pour fabriquer tous les tableaux. Ceci semble introduire une majoration de l'estimation lorsque le code du mot principal est petit, ou bien lorsqu'on se trouve avec un code important aux limites du texte. En fait, la quasi-totalité des tableaux que nous allons étudier ne présentent pas cet inconvénient, car la suppositon est confirmée en pratique (le code est assez grand relativement à la distance de recherche des mots satellites et le tableau se trouve assez loin des limites du texte); et pour ceux qui le présenteraient, nous ne constaterions pas une grande erreur d'estimation. Le modèle est donc très intéressant, car malgré la complexité du problème abordé, la résolution restera relativement simple.

Ces préliminaires importants étant faits, procédons à la synthèse de l'estimation du nombre de positions. Pour faire le compte précis des positions d'un tableau quelconque, il faut utiliser une méthode de décompte très rigoureuse, afin de ne pas en oublier et de ne pas en compter en trop non plus:

Voici le résumé des formules à utiliser pour compter les différentes positions nouvelles apportées par chaque nouveau tableau produit par un glissement vertical :

Positions nouvelles à ajouter pour chaque tableau à n glissements verticaux :

Nous arrêterons là les comptes de positions car il y a aura probablement peu de tableaux atteignant de telles valeurs de glissements.

Avec ces formules, il est possible de calculer une estimation du nombre de positions totales que peut prendre un mot satellite autour d'un mot principal donné.

Au bout de cette étude, nous possédons le moyen d'estimer assez précisément le nombre de positions possibles qui permettent de faire apparaître deux mots dans la Torah.

Nous allons présenter un exemple qui résumera le calcul a effectuer pour obtenir le résultat recherché ;

Supposons que nous travaillions dans un texte de 305 000 lettres (c'est environ un livre de 200 bonnes pages). Celui-ci est écrit au hasard dans un alphabet de 22 lettres. On supposera que toutes les lettres apparaissent avec la même fréquence. Supposons que nous ayons trouvé le tableau ci-après à l'intérieur de ce texte. Nous désirons en mesurer l'espérance afin de savoir si ce tableau est extraordinaire ou non ?

• Premièrement nous pouvons calculer l'espérance du mot principal. En vertu de la formule suivante :

, le mot 'premier' possède une espérance d'apparition de  :

= 6.22.

C'est le nombre moyen de fois qu'il apparaît dans un texte de 305 000 lettres ainsi composé.

• Observons maintenant le mot 'deux'. Il est à la distance d =

On en déduit la distance de recherche du tableau verticalisé-réduit par la formule suivante :

, ainsi =11.95

• Le nombre de glissements verticaux maximal d'un tableau identiquement impressionnant est donné par la formule :

d'où le résultat = 4. Il faudra donc étudier tous les tableaux à glissements verticaux de 1 à 4.

• D'après la formule générale de P_n(z)=

• Ajoutons les positions supplémentaires qui viennent du tableau à 2 glissements verticaux :

Calculons d'abord la distance de recherche dans P₂(1), L₂=12 et d₂=8.96. Par la formule appropriée, on en déduit P₂(1) »  23 800 auquel il faut ôter P₂(2) »  5 800

• Puis pour P₃(1), on a L₃= 18 et d₃=5.96. Il s'ensuit que P₃(1) »  11 500, auquel il faut retirer P₃(3) »  1 200
• Et enfin pour P₄(1), on a L₄= 12 et d₄=8.96, On obtient que P₄(1) »  3 000, auquel il faut retirer P₄(2) »  700
• De tous ces résultats, on déduit que l'estimation du nombre de position est d'environ 69 000. Ce qui nous nous conduit à calculer l'espérance d'apparition par le calcul suivant :

  = 0.29 : c'est l'espérance de trouver le mot satellite près d'un mot principal choisi. Mais il faut penser qu'il y a probablement 6.21 fois le mot principal.

• D'où le résultat final : L'espérance de voir apparaître un tableau similaire à celui que nous avons présenté dans le texte est de 6.21x0.29=1.8. Cela signifie que ce genre de tableau peut se trouver 1.8 fois en moyenne dans les conditions citées ; ce qui est tout à fait probable.