Les Mathématiques

Avant d'aborder ce texte il est préférable d'avoir abordé les concepts suivants :
- la logique
- la trame

Un résumé (orienté) de ce texte est accessible:
La nature des mathématiques

Introduction

Afin qu'il n'y ait pas de confusion, je précise que nous parlerons ici des mathématiques naïves, du moins au début. Nous laisseront pour plus tard la dimension formelle qui est apparu dans les mathématiques.
L’intérêt du positionnement des mathématiques est double. Il est d’abord l’étude de cette disciplines si étrange de la science qui la rend un petit peu universelle, dit-on parfois . Le pourquoi de cet universalité est interessant pour connaître la nature de la trame. Le second intérêt est une histoire plus personnelle : les mathématiques me sont apparu comme la science du savoir fiable et surtout comme la science de la vrai preuve. Elle reflétait pour moi l’idée de la vérité. Sujet qui me passionne depuis longtemps. Par ailleurs cette vérité semblait éloignée de la réalité commune. Comprendre en quoi, pourquoi et comment les mathématiques parle-t-elle vrai, a été l’une des principales motivation de ma vocation mathématique.  « Quel est l’écart qui existe entre ce parlé-vrai est la réalité quotidienne ? » a aussi été longtemps l’objet de mon plus vif intérêt qui a naturellement conduit à mon modèle épistémologique.

L’absolu mathématique
Il est regrettable de parler de l'absolu mathématique en se limitant au mahtématiques naïves, car ce sont dans les mathématiques formelle que l'ont trouve la plus belle idée d'absolu. Mais c'est ainsi que le sentiment est apparu et c'est par cette face que nous l'aborderons.
Ainsi, les mathématiques possèdent une place très particulière dans la connaissance. A cause de cette particularité, elles ont souvent fait l’objet de l’étude des philosophes de la réalité. Leur nature très spécifique tient de plusieurs raisons :
Les mathématiques manipulent des objets qui possède une sorte de perfection. Ces objets sont les nombres, les points, les droites, des structures de toutes sortes dont en particulier les structures logiques, etc…
Elles utilisent sur ces objets des règles qui sont parfaites et inflexibles qui ne souffre pas la contradiction.
Les résultats issus des déductions mathématiqus sont implacable et ne connaissent pas la contradiction ou la subjectivité.
Au regarde de ces absolus, la question est naturelle : si tout fonctionne à la perfection en mathématiques, pourquoi les règles de déduction, celle qui définissent les enchaînement logiques et qui font la force des mathématiques ne serait pas aussi précises et inflexible, si elles étaient utilisées correctement dans la vie courante ?
Nous avons vu comment la logique mathématique à construit un tel modèle, c’est par tatonnement et par abstraction. Et surtout on a vu que le modèle de raisonnement mathématique n’était pas unique. Voilà qui met un léger bémol à la science reine.
Ce statut d’absolu, de sciences exacte donne aux mathématiques un caractère tout à fait particulier dans des les connaissances. En effet nous avons vu le flou et la subjectivité qui concernent toute connaissance, comment est-il possible qu’une connaissance aussi exacte soit possible ? Très tôt avec Platon et surtout Pythagore, les idées mathématiques ont pris un caractère tout a fait particulier : Platon les voyait comme réel, puis Pythagore les voyait comme la base de l’univers. Et beaucoup plus près de nous, Bolzano imaginait les notions mathématiques et logiques comme un troisième monde : les monde des idées parfaites.
Aujourd’hui en pratique, ces questions ontologiques ont été plus ou moins évacuées de l’objet de son étude par le fait que les mathématique ont été réduite -en théorie- à un symbolisme mécanique, mais il est toujours aussi clair que les mathématiques représentent une connaissance très particulière dans le monde qui nous entoure. Il faut alors se poser la question : où est cette réalité des mathématique, est-elle vraiment absolue, est-elle dans la trame ou ailleurs ? Est-elle un fond ou un constituant propre de la trame ?

La réalité et la perfection des mathématiques
Il ne faut pas réfléchir loin pour s’apercevoir que les mathématiques ne sont pas dans la nature de façon directe: on y trouve pas de cercle parfait, on y trouve pas de nombres, ni même de points. On ne saurait pas ce que cela signifie dans la nature. Tous les objets mathématiques sont des objets idéaux dit-on.
Un question qui a taraudé la connaissance scientifique est celle de la réalité des objets mathématiques. Formulé dans notre modèle cela donne : ces objets mathématiques sont-il dans la trame ? Nous avons vu que la trame ne se limite pas à la matérialité, car tout n’est que condensation, aussi les idée, les structures, les fonctionnements sont des réalités de la trame tout autant que toute autres condensations. Les fonctionnement mathématiques sont des évidences(…) de la trame. Seulement elles ne possède pas de condensation dans la matérialité. Mais ce n’est pas une raison suffisante pour leur dénigrer l’existence. Existe non seulement la matière, mais tout fonctionnement de la matière. Et là on trouve les mathématiques. Il n’y a donc rien de difficile à estimer que les mathématiques sont effectivement présente dans la trame. Elles sont tout simplement des réalités présentes partout. Les nombres et les règles sur les nombres, la géométrie et toutes ses règles se manifestent dans la nature à toute sorte d’échelle, dans toute sortes de situation avec une précision et un application dont la réalité est inouïe. Il en faudrait moins que ça pour affirmer qu’une idée est dans la trame.
La question qui suit est alors : sont-ce les idées parfaites qui sont dans la trame ou juste des aproximations de ces idées. Si l’on ne trouve matériellement que des approximations de l’idée l’ensemble de la matérialité donne par abstraction une idée de perfection. La simplicité des concepts abstrait montre que leur existence apparaît objectivement sans avoir besoin de considérer l’abstraction de toute les approximations : l’abstraction est naturelle. Notre esprit la voit naturellement non pas seulement dans notre pensée, mais comme une réalité abstraite présente dans la trame. L’abstraction n’est pas que le fait de notre pensée, elle est dans la trame car elle se dessine comme une réalité générale de la trame. Avec l’habitude que nous avons maintenant de voir tout réalité de la trame comme une condensation, il serait regretable de ne pas accorder cette forme de perfection au mathématiques sous le seul prétexte qu’on ne veut pas de perfection. Les mathématiques avec leur idée de perfection, d’abstraction pure est une réalité que la trame nous montre par condensation. La trame peut nous surprendre ! Il est manifeste que ces idées de perfection jaillisse comme des condensations, une convergence aysmptotique de toutes les situation que nous rencontrons. Notre modèle nous invite donc à les accepter comme une réalité à part entière.
Si l’on se pose la question : ou sont-elle alors ? Et bien elle sont tout simplement un principe de la trame manifeste qui s’applique dans la réalité matériel. Si c’est la réalité matériel qui nous les présente et nous les fait sentir, la nature des mathématiques, elle n’est pas matérielle. Sa nature n’est constitué ni de principe matériel, ni des lois physique, mais de principes de structure, de règles. Les principes mathématiques s’appliquent dans la trame dans toutes sorte d’application avec une objectivité surprenante. Voilà donc où se trouve les mathématiques, elles sont dans la trame de façon évidente et objective. Elles ne sont pas matérielle, mais elle se révèle asymptotiquement par la matière , par les lois physique...mais est-ce les seules sources ? Nous verrons que non. On pourrait dire que cette définition des mathématiques est celle qui convient pour les mathématiques qu’observent et que pratiquent ceux qui ne sont pas mathématiciens de notre temps. Car en effet les mathématiques ont changé de nature chez les mathématiciens. Il ne pratique souvent plus les mathématiques que nous venons de décrire, nous verrons cela plus loin. (Quand à savoir si ces nouvelles mathématiques sont dans la trame, c’est une question fort intéressante et instructive, tant elle devient curieuse quand on l’approfondit).
Revenons en donc aux mathématiques plus classiques. Ce n’est pas seulement leur réalité qui est établie mais c’est aussi leur perfection qui n’est pas à remettre en cause. Elle est le principe même de leur existence. Une sorte de réalité parfaite qui s’applique à la trame, voilà la nature des mathématiques. Ce principe de perfection jailli avec objectivité en même temps que la condensation qui décrit l’objet mathématique. Il n’est donc pas sensé de remettre cette idéalité en cause, car rien ne l’y prette et elle est une objectivité.
Par contre il faut se mefier de ce qu’on appelle idéal, perfection ou absolu. En effet cet idéal comme le dit le mot est une idée, on pourrait aller plus loin en disant un principe, une structure ou même une règle. Mais cette idéalité ne s’applique qu’aux objets mathématiques. Nous en avons parler en abordant le proige de la logique formelle. Cette idéalité, cette perfection est une forme particulière d’existence qui est la nature même des mathématique. Il ne faut pas déborder de ce cadre, cela est aussi un constat objectif de la trame.

L’existence de cette idéalité a fait couler beaucoup d’encre, et la tendance à voir dans les mathématique un modèle de la réalité en général est forte. On en a souvent déduit la perfection des idées en général. C’est une généralisation maladroite : en effet seule les mathématiques comme étude des structures vérifie ces principes de perfection à cause d'une univocité qui est une part essentielle de leur constituant (qui ne sera révélé plus précisément que pa l'avènement de la logique symbolique). Etendre la perfection au-delà des mathématiques en disant «les mathématiques sont des idées parfaite, il existe donc dans les idée un monde d’idée parfaite (et imaginer que ce monde dépasse les mathématiques) »  est un acte on ne peut moins objectif que platonsemble avoir réalisé. Si l’on est objectif, le constat est manifeste : sur les idées en général on a pas la perfection, mais une imprécision, une subjectivité fondamentale des concepts. Il se greffe les subjectivité dues aux trois sphère de réalités (de la trame, de la pensée et du langage). Nous avons d’ailleurs vu qu’en bien des lieux, il est souvent difficile d’être moins objectifs que dans le monde des idées.
Quand on voit la puissance et la perfection des idées mathématiques, la tentation est forte de vouloir cette précision ailleurs. D’autant que la logique utilisée en mathématiques peut s’étendre à de nombreux raisonnement courants. Il est difficile de penser que la méthode mathématique ne se limite qu’à cette seule discipline.
D’autant que ce n’est pas tout à fait vrai : au travers de la modélisation, les mathématiques ont une implication très forte dans la matérialité sous forme d’approximation. Les mathématiques semble donc avoir une prise sur le réel matériel et aussi dans une grande partie du domaine des idées. De là à conclure que les idées possèdent une forme de perfection elles aussi, il n’y a qu’un pas.

Pourquoi ne pas le faire ? Sur la base de deux constats :
les mathématiques hors de leur dommaine structurel et théorique n’ont plus la même rigueur et la même efficacité ; tout simplement plus la même perfection.
Aussi parce que les mathématique ne sont pas seulement une réalité intérieure. Elles ont une réalité extérieure à l’homme qui se trouve dans la trame. Ce qui n’est pas le cas pour le raisonnement logique courant qui procède par hypothèse.
Et surtout parce que les mathématiques abstraite dans leur forme la plus rigoureuse donne lieu à une mécanique symbolique dont la vrai rigueur ne s'applique qu'à la mécanique symbolique. Aussitôt découvert le fondement de la rigueur mathématiques, on peut affirmer qu'il est de nature purement mathématiques : c'est l'unicité des mathématiques qui lui donne sa rigueur. Aussitôt que l'on quite les mathématiques on perd l'univocité et on perd en même temps la fiabilité.

Il est vrai que cette réalité n’est pas matérielle, mais elle clairement présente dans la trame dans toutes les approximation de la physique dans tous le usage pratique des mathématiques. C’est l’expérience, c’est la réflexion construite sur l’expérience qui nous la dévoile. N’étant pas dans la matérialité. On a supposé à tord son origine dans les idées. Il me semble beaucou plus crédible de penser queles mathématiques sont issue de l'abstration de la trame plutôt que d'une connaissance a prirori existant en nous. Non que les mathématiques comme nous les utilisont soient entièrement présentent dans la nature, car il apparaît évident qu’elles possèdent une formulaton humaine et idéologique tout a fait subjective et culturelle. Mais leur origine, leur fondement est extérieure. Si leur réalité n’est pas dans la matière, si leur formulation et donc une interpolation est bien présente dans notre esprit, il me semble évident que c’est la nature qui nous les révèle. Maintenant, il faut bien comprendre que derrière l’expérience matérielle, ce n’est pas seulement la matière ou une simple idée d’approximation que l’ont peut distinguer objectivement, ce sont des objet idéaux qui suggèrent une perfection qui ne tolèrent aucune faille. Ce sont des principes de structure inflexibles.
A priori rien n’exclue que cette perfection puisse être ramifiée en une idéalité moins forte, subdivisée, multiples et donc moins absolue. Mais tout cela n’est que supposition gratuite, car entre l’idéalité et sa perception se greffe le principe de la perception subjective. Etablir quel est la part de perfection et quel est la part de subjectivité dans leur perception n’est pas forcément facile. De plus j’ajouterais que le mot perfection en lui-même me gêne passablement. En fait il ne s’agit pas de perfection, mais peut-être davantage d’un constat de fonctionnement intrinsèquement non contradictoire. C'est une nature plutôt qu'un jugement de valeur (notre désir de connaissance fiable aura vite faite de la transformé en valeur). C’est la nature des mathématiques de se présenter sous l’aspect de règles sur des objet abstrait qui ne s’emboitent les uns dans les autres que d’une manière bien défini et ne souffrant pas la subjectivité, de façon univoque. Il est vrai par contre que cette univocité, cette mécanique tranche avec la subjectivité du reste de la trame. La nature des mathématiques quand on sait les voir dans la trame n'est pas subjective, méléable, élastique comme les autres réalités. Cela provient de la nature des objets manipulés.
Ce sont des règles d’emboitement, de forme et de structures. Ce sont des objets bien définis.
Mais on verra que la subjectivité jaillit cependant aussi dans les mathématiques, en des endroits inattendus.
Voici une dernière question qui présente un petit intérêt : la nature tellement différente des mathématique dans son caractère idéal et absolu doit-elle nous conduire à séparer les réalités mathématiques des autres réalité ? Même si une telle question trouvait une réponse toute formulée dans le cadre de notre modèle, il peut être intéressant de la considéré brièvement : le fait que les mathématique possède un caractère absolu, ne nous permet pour autant pas d’en dresser un contour vraiment précis, c'est le contenu qui est de nature univoque pas le contenant : les mathématiques sont elle-aussi une condensation de la trame : cela donne une curieuse forme à la trame une condensatio fait d'élément qui semble parfaitements bien condensé et bien ajusté. Définir les mathématiques de façon rigoureuses n'est pas évident. En tracer un contour précis semblerait assez audacieux.

La trame nous fait percevoir les objets mathématiques mais aussi les règles qui les gère. La logique formel nous a montré que les objets était réductible aux règles suffisantes pour manipuler les objets et que ce sont ces règles plus que notre intuition qui donne la meilleurs stabilité aux objets : notre esprit nous trompe facilement à leur sujet. (C'est un argument supplémentaire pour montrer qu’il sont dans la trame). C’est intéressant de voir que les règles sont suffisantes pour définir les objet. Cela donne une idée de la nature des mathématiques. Nous en reparlerons c'est la découverte des mathématiques formelles.

Règles et structure mentale
C’est d’ailleurs l'attachement toujours plus grand au règle qui à conduit les mathématiques dans un développement de fiabilité important. Cette rercherche de règle à encore éloigné les mathématiques de la réalité matérielle en lui donnant un statut toujours moins perceptif et toujours plus régulatoire. Autrement dit si l’idée de cercle rond et parfait était au départ une image de l'abstraction mathématique, et bien cette représentation a perdu de son importance avec l'avènement des mathématiques comme règles. Quand on raisonne dans une géométrie formelle sur des cercles, il n'y a plus de cercle telles quon les perçoit habituellement. Rout n’est que règle et enchaînement de règle sur des symboles vide de sens défini eux même par des structure formé de règles.
Cette décomposition de toute réalité mathématique en règle fondé sur quelques principes élémentaires (les axiomes : eux même définis par une interconnexion de règles) est une nature des mathématique de la trame qui lui donne de pouvoir s’établir sur très peu de bases (la logique formelle).
Les structures mentale comme le cercle rond seront davantage perçu comme une conséquence, un accompagnement mentale que comme un principe fondamental. Quand on se laisse guider par le règles le chemin est infaillible alors que les représentation mentale comme guide apporte beaucoup de déboirs. C'est ainsi qu'on discerne la notion de règle comme fondamentale aux mathématique alors que les représentation mentale sont secondaire.
Maintenant si la nature inflexible des mathématiques se situe dans les règles plus que dans la mentalisation, il serait maladroit de faire fit de ces représentation mentale. En effet, elle sont faillibles (car façonné sur des concept mentaux non univoques), mais elles sont par contre une mine de renseignement inestimable. Elle permettent d'entrevoir des règles qui sont d'une complexité effroyable. La représentation mentale des objets mathématiques est une facette de la réalité de ces objets non univoque mais souvent très riche en sens (quand on essaie de reconstuire ces sens par l'approche univoque).
Comment est-il possible que des règles symbolique se traduisent en une forme géométrique ?
Des règles qui donne un objet idéal n’a rien de surprenant, mais que c’est objet idéal possède une nature d’un tout autre ordre que les règles est assez surprenant. Le fait d’être rond et parfait pour la « vue abstraite », n’est pas inclus dans des règles symboliques et mécaniques. Les symbole ne font que s’enchaîner pour donner d’autres symbole, comment se fait-il que ces symbole soit autant relier à une réalité de nature différente.
Et bien c’est un constat de la trame. : C'est un mystère qu'il vaut peut-être mieux voir dans l'autre sens pour avoir un peu moins le vertige : en beaucoup de lieux divers de la trame, il existe une réguliraté qui s'exprime dans des règles symboliques fiable. En particulier il existe des lieu abstrait ou ces règles sont parfaitement fiable.
La règle étant la source de la fiabilité beaucoup ont oublié de regardé le sens et les lieux de sens anéantissant une richesse énorme qui était pourtant un constituant essentielle de ce qu'on a toujours appelé les mathématiques.
C’est par ces perceptions mentales qui provient l’intuition de nombreuses démonstrations : autrement dit la perception sémantique des structure mathématiques est un pouvoir de suggestion fort, pas infaillible mais fort et riche.
Il faut en plus constater qu'au départ les mathématiques avait justement pour objet d’étudier ces structures mentale. Il existe donc une relation étroite entre structure mentale et règles symbolique : si les règles sont suffisantes à la construction des principes, la structure sous jacente (qui possède une réalité propre au dessus de la règle) est un des éléments intéressants. C'est même souvent un des premiers intérêt.
Il est vrai que les mathématiques symbolique (les règles) proposent de questions internes et pertinente, mais conduire les mathématique au rang de simple règle au mépris de structure supérieur dans lequel elle s’enferme, c’est négliger un intérêt fondamentale des mathématiques. La fiabilité n'est pas le seul intérêt des mathématiques.
Dans ce rapport entre règle et structure, on discerne un aspect importants des mathématiques. En pratique les structures mentales utilisées dans les mathématique ne sont pas toujours aussi simple que le cercle, elles peuvent être très abstraites et beaucoup moins « réel » que ne le parrait le cercle. Mais il est malgré tout fréquent (sinon systématique) de greffer une structure à des résultats mathématiques, même lorsqu’il sont assez abstraits. C’est une des méthode d’intuition en mathématique. L’autre méthode est l'usage brute des règles symboliques. En pratique la diversité et le mécanisme de l’intuition est encore beaucoup plus complexe, car elle repose sur tous les mécanisme d’acquisition de la pensée.

La question est alors comment est-il possible que cette perfection soit présente dans notre pensée et dans des symboles du langage ?
Nous avons déjà abondemment parler de ce problème dans la question logique. Mais il est encore des choses à ajouter. Bien que je pense que chacun l’aurait compris seul, j’aimerais néamoins adressé une remarque à ceux qui ont l’habitude de manipuler la logique mathématique afin qu’il n’y ait pas de confusion. Elle porte sur la notion de sens. Dans mon modèle le sens des choses est un concept mental. Alors que la notion de « sémantique » en mathématique reste complètement une notion symbolique attribuée de règles mécaniques. Le sens du mot « sémantique » en logique correspond à un rapport qui règle une correspondance entre deux objets : d’une part un langage, d’autre part une structure avec ses propriétés. Ainsi la « sémantique » de la logique est affranchie du sens mental de la structure. Nous englobons donc tout l’ensemble sous le qualificatif de symbolique ou le substantif de règle symbolique. Et c’est à ce symbolisme seul que se réduisent les (nouvelles) mathématiques dans la vision de certains mathématiciens, car toutes les règles et théorème peuvent s’y ramené (ce qui a d’ailleurs été une découverte surprenante en soi). Par contre toute pratique des mathématique passe obligatoirement par un sens mentale, le problème du sens mental est qu'il ne garanti pas le succes.
On trouve là dans une dimension beaucoup plus grande un mécnisme de la fiabilité : l’impression ne suffit pas pour affirmer la vérité. Il faut procéder à un test d’objectivité et ce test réside dans la règle. De sorte qu’après quelques siècles de pratique mathématique le test d’objectivité s’est totu doucement formé par apprentissage : c’est la validation par la règle.
On voit que la trame peut être surprenante : elle ne fournit pas seulement une objectivité, mais des moyens d’être objectif. Pas seulement dans des constats généraux, mais aussi dans des contextes partituclier. Ici les mathématique. D’ailleurs la règle mathématiques n’a de validité intrinsèque qu’en mathématiques.
Interpolation de la perfection mathématique
Nous avons constater que la nature des mathématiques correspondait à une forme de réalisme très poussé, très objectif, dans le sens où elles ne connaissent apparemment pas d’exception. Il naît alors plusieurs questions.
Comment la perfection peut-il parvenir dans la pensée et dans le symbolisme ? Est-ce que la formulation que nous avons est la meilleurs formulation dans son genre, autrement dit : est-ce que les mathématiques aurait pu être tout autre si l’histoire des maths avait été différente ?
Nous établit hypothètiquement le mécanisme de l’acquisition mentale et le mécanisme de fabrication symbolique. Au vue de ce mécanisme très subjectif on se demande comment il est possible d’engendrer une perfection aussi absolu que les mathématiques. Quand bien même on peu supposer que cette perfection existe dans la trame, comment est-il possible qu’elle nous parviennent mentalement et symboliquement.
Nous connaissons le principe de convergence asymptotique, peut-il à lui seul expliqué cet absolu.
Voici la réponse que je propose : les principes mathématiques possède une perfection apparente sur laquel nous ne pouvons pas statuer, mais sur laquel nous pouvons nous fier vu son objectivité. IL se trouve que cette perfection est d’autant plus forte que la nature des mathématique s’exprime sous forme de règle très abstraite entre des entités très générale : autrement di la nature des mathématique est l’abstraction et la généralité dans son objet : ce qui lui donne encore un crédit de cohérence interne. Maintenant il est difficile d’aller au delà et d’utiliser cette perfection apparente pour lui donner un statut métaphysique à part, En effet c’est toujours la pensée qui accède à cette réalité et elle le fait au travers du symbolisme.
Commençons par étudier la pensée : il se trouve qu’en interrogeant les mathématiciens, on s’aperçoit que les objets qu’ils utilise mentalements sont très différents les uns des autres. Bien qu’utilisant les mêmes symboles, les représentations mentales sont très différentes de l’un à l’autre, particulièrement pour les raisonnements nous avons déjà dit que certains les percevait plus structurellement et d’autre plus fonctoriellement. Mais c’est aussi le cas pour bien des objets. Autrement dit un tel constat montre la subjectivité des mathématique dans la pensée.

Il nous faut maintenant répondre à une autre question : comment la communication peut-elle être aussi clair devant la subjectivité manifeste des représentations mentales des mathématiciens. La réponse se situe dans le mécanismes symboliques. Si la pensée est subjective, le mécanisme symbolique lui l’est beaucoup moins.
Venons-en donc au processus symbolique qui consiste à établir les règles des mathématique sous forme de symboles. Sans préjuger de la parfaite adéquation entre la réalité mathématique de la trame et sa représentation symbolique, il est pourtant manifeste que le lien présente peu de subjectivité, dans le sens où la traduction de la réalité sous forme de symbolique permet de bien traduire le mécanisme de la règle et qu'il fonctionne en montrant une efficacité sans égale. L'approche symbolique est donc indispensable au bon sens. C’est là, l’atout du symbolisme : il exprime bien la règle par des processus mécanique. On distingue alors qu'uen des nature profonde des mathématiques sont d'être des mécaniques symbolique. L'approche symbolique donne une représentation de la réalité mathématique qui permet de traduire l’exigence de la rigueur par un processus mécanique.
Nous avons dit « UNE représentation ». Faut-il pensé qu’il y en a d’autre ? Il est possible de répondre oui, en pensant au structures mentales dont nous avons parlé avant. Mais l’avantage du symbole et qu’il traduit une réalité qui se suffit à lui-même, dans le sens ou la règle permet de progresser sur le symbole. Autrement dit l’existence d’une autre représentation de la réalité mathématique ne semble pas nécessaire en théorie pour former son objet.
Cette suffisance est une marque distinctive d’une réalité des mathématiques, elle correspond au choix actuel fait par les mathématiciens et on peut le comprendre dans le sens ou ce choix est fondé sur le principe même des mathématiques : fondée sur le fait que la rigueur exprimé par le symbolisme est fondé et qu'il traduit l’aspect immuable de la règle mathématique, l’usage du symbole se suffit à exprimer les mathématique par combinaison des règles rigide portant sur ces symboles.
Maintenant la réalité de la règle symbolique n’est pas la seule qui exprime les mathématiques. La règle symbolique possède d'ailleurs certains recoin qui trahisse un peu ce caractère absolu. Ce sont tous les contacts avec la réalité extérieur à lui-même :
Il est évident que le symbole possède lui-même une forme de subjectivité : la forme du symbole ou la sonorité du symbole dans l’écriture et le son. Mais les symbole sont conçu pour être différent et donc perceptible. La subjectivité de cette barrière est donc négligeable car les symbole sons suffisamment séparé pour ne pas apporter une réelle confusion, évidemment nous avons aussi négliger l’erreur de transmission, etc… tous ces petits facteurs de subjectivité multiples sont une rélle entrave à la communication, mais il faut très peu de convergence pour qu’il soit vraiment négigeable. C’est pourquoi chacun comprendra que cet aspect est négligeable.
De façon plus significative, un trouble au caractère absolu du symbolisme est la nécessité de ce qu’on appelle le métalangage : il est en effet nécessaire de parler une langue courante pour définir l’usage du symbolisme et des règles. On comprendra que cette nécessité est du au fait que nous sommes jeté dans la vie et que tout se construit historiquement sur les acquis précédents, il est donc nécessaire de fonder ces principes symboliques avec une forme de langage qui explique les quelques notions abstraites de bases comme par exemple le principe de variables ou d’appartenance, et les mécanisme de fonctionnement des règles. Si certaines notions ne sont peut-être pas indispensable pour la manipulation de ces mathématiques, certaines le restent comme par exemple l’usage des symbole... Mais la subjectivité du métalangage est un peu atténuée par le fait que le symbolisme est accessible à toute langue, il semble bien que l’usage de ce symbolisme soit « facilement » transmissible dans toute les formes de langage (même par un ordinateur pour ce qui est de l’apprentissage des règles, c’est autre chose pour trouver les théorèmes fondamentaux).
C’est ainsi que l’on voit que si le symbolisme n’a pas besoin du sens, il ne l’a pas non plus complètement évacuer : il a disparu dans la mécanicité, mais pas dans les fondement. Pour ne citer qu’un exemple, i npeut penser au nom donné aux axiomes. Les mathématiciens utilise fréquement beaucoup d’autre sens que le simple usage mécanique des règle et dans ce ses réside la force de découvertes de construction des mathématique.
Dans le même ordre d’idée, il y a aussi l’intérêt réel des structures dans lesquels s’enferme le symbolismes, cet autre aspect des maths qui n’est pas fondamental pour construire les math est fondamental pour acquérir les maths. Par exemple une bonne partie de la compréhension des math repose sur des représentation spatiales. Si elle n’est pas indispensable, elle pourtant féconde en idée et en compréhension. Par exemple s’il est immédiat de voir qu’un point est dans un triangle, il est plus difficile de le définir symboliquement. Et beaucoup de raisonnement repose sur de telle représentation mentales.
Nous avons déjà dit que certaines construction symbolique elles-même montre que le système n’est pas absolu dans le sens ou quelques axiomes de départ peuvent être interchangés sans poser de problèmes.
Pour clore la relativité de l’absolutisme de l’approche symbolique en mathématiques, il faut ajouter que l’erreur, le manque de précision, de ramifications n’est pas exclu, autrement dit il n’y a pas de moyen de montrer que le système est satisfaisant ou même non contradictoire.

Et pour conclure, on pourrait tenter de répondre à la question restante : Est-ce que la formulation que nous avons est la meilleurs formulation dans son genre, autrement dit : est-ce que les mathématiques aurait pu être tout autre si l’histoire des maths avait été différente ?
Là encore il est difficile de répondre de façon objective : comment savoir si nos connaissance sont la seule façon d’aborder la trame. Est-ce que un autre regard, une autre histoire, nous offrirait de voir d’autres condensations qui permette d’aboutir ou non au même type de résultat à des développement important comme ceux que nous avons connus, au même ou à d’autres résultats? Est-ce que l’allure des mathématiques pourrait être profondément différente, les théorèmes pivot dans l’édifices des mathématiques pourraient-il être différent ?
De toute évidence certains concept semble assez naturel comme les nombres (indépendament s’une base ou d’une numération position et de l’usage du zero), il semble difficile de ne pas y passer. On peut penser que d’autres principe sont naturels, mais plus on avance plus l’évidence de certains objets est discutable. Mais c’est en grande partie la technicité qui donne cette appréciation. en-dehors de la technicité, il est clair que certain apport son purement culturel (comme les symbole eux-mêmes, les bases de numération, la démarche constructive des mathématique ou l’importance culturel de certains résultats,…). LA question est de savoir si l’onpourrait construire des mathématique vraiment différente ou si au contraire il faut penser que nos mathématique sont d’un caractère absolu dans l’ensemble.
Il semble que certains résultat de la logique moderne montre qu’il est possible d’utiliser une autre approche logique (elle est en général encore plus technique), c’est un indice de la relativité de nos choix.
Il est ensuite évident de penser que l’ordre de découverte, l’interêt pour un sujet, le hasard dans les découverte a fortment influencer la construction de l’édifice qui n’aurait pas la même allure, la même posture devrait-on dire. Mais quant à savoir s’il pourrait être très différents, c’est plus difficile.
On peut penser fortement penser que l’édifice mathématique repose sur l’approche de base qui est beaucoup issue de la perception de l’espace. Est-ce qu’une autre approche donnerait d’autres résultats ? On peut penser que oui, mais quel autre style d’approche ? Mais tout semble si naturel dans l’ensemble, est-ce la culture ou la trame qui nous l’offre ainsi.
On pourrait penser que les mathématiques sont elles aussi une interpolation de la trame, autrement dit nos théorèmes serait une façon de faire tenir l’édifice mais pas la seule. Ce qui rendrait l’absolu encore plus relatif. Dans ce cadre on pourrait imaginer un édifice mathématique bien différent. En fait cela existe en réalité par exemple il existe de nombreuse façon de faire de la géométrie : par les principe structurel, par l’analyse dans un repère, par l’usage de l’outil vectoriel. Ce sont bien des façon très différente de faire de la géométrie, qui n’aboutisse d’ailleurs pas tout à fait au même conséquence, qui n’ont pas leur efficacité situé au mêmes endroits.
En tout cela le système pourrait être et est multiple, mais la question se transforme alors en deux question :
Chacune de ces approches pourrait-elle être du même genre est dissemblable ?
Et pourrait-il exister d’autre approche que nous n’avons pas trouvé, voire des approches qui sont un mélange de notre approche et d’une autre nature ?
Pour la première question la réponse est un oui relatif, en changeant certain principe on peut aboutir à un système équivalent. On connaît par exemple de nombreuse formulation très diffrente de l’axiome du choix qui donne toute une construction logique équivalente. Il est souvent possible d’introduire des outils mathématique de différentes façons ce qui change leur caracères absolu de façon notoire. Dans de telle pratique l’édifice change au sens de l’absolu, mais assez peu dans la nature des résultats.
Pour ce qui est de la deuxième question, il est évident que oui, d’autre approche sont possible. Dans des sujets variés, on découvre tous les jours des approches différentes, des approches connu, c’est d’ailleurs un des objets de la recherche de trouver des outils plus efficace et plus fin. Mais en général ces outils sont très technique. Imaginer de outils simple s’adressant aux mathématique d’usage commun et qui offre une approche très différente est envisageable en changeant de base logique et en changeant d’approche ontologique, mais il est évident qu’une nouvel approche n’est pas un objet de recherche dans le sens ou elle ne se fait pas sentir (on construit toujours sur l’histoire). Donc sans l’exclure dans la théorie, il y a à penser qu’une telle découverte proviendrait probablement de problème qui se pose naturellement et notamment dans les question usuelle. Mais penser qu’une approche complètement différente des math soit envisageable n’a en fait pas beaucoup de sens, car une nouvel approche ne ferait qu’enrichir les connaissances et probablement pas l’invalider vu son objectivité.
En conclusion si les mathématique possède bel et bien cet aspect d’interpolation de la trame en ce qu’il ne sont pas tous précisément des préceptes incontournable, en ce qu’il possède une figure humaine, une formaulation sybmolique, une relativité certaine, il peut sembler que les mathématique se construise dans l’ensemble sur des base assez naturel et objective et ainsi on peut penser qu’il est possible de construire des mathématique différente dans l’aspect, dans l’intérêt ou dans la forme, mais probablement pas complètement différentes dans le contenu et l’approche pou exprimer les mêmes notions. Maintenant la trame nous oblige toujours à conserver la part de l’éventualité.
Ainsi la question : est-ce que nous avons des fondements objectifs ? trouve une réponse relative. Ce qui vient conforté l’affirmation est le fait que les fondement des mathématique sont en petits nombres et que pratiquement à eux seuls, ils engendrent l’édifice important que nous connaissons. C’est là un des principe qui rend les fondement objectif dans le sens ou les fondements confirme la nature des mathématique tout en les rendant possible. Mais un argument qui va en la défaveur de l’objectivité de nos fondement est la multiplicité des fondement possible. Et je pense que cet argument prédomine pour ce qui est des fondements logique et peut-être moins pour les construction classique situé à un niveau supérieur. Car un des objectif des fondement est de pouvoir retrouver la construction de ces objet classique. Je pense qu’il y a encore beaucoup à attendre de la recherche en logique pour donner des base très différentes à la logique, il suffit de regarder pour cela les recherche un peu anecdotique qui sont fait en logique non classique, elles sont très variées, mais évidemment étant à leur balbutiement, elle n’en sont pas encore à englober l’édifice, sans savoir si même elle le peuvent.

La démarche mathématiques
A la suite de ce discours, nous avons vu l’importance de la méthodes symbolique en mathématique qui lui donne la rigueur et la garde des erreurs classique de l’intellection des symbole ou des structures. On peut alors se demander si dans la démarche mathématique la primauté est à cette logique symbolique?
Ce serait se méprendre. En effet, si elle est incontournable comme réalité de la trame et comme composante intrinsèque de la nature même des mathématique. L’intuition est elle aussi incontournable comme réalité intérieure. Et quel que soit l’objet mathématiques créé par un mathématicien, la nature sémantique profonde des mathématiques est utilisé alternativement pour guider, pour interpréter, pour donner un sens à ces résultats.
Les mathématique dénué du sens serait une machine inutile et stérile. Ce qui conduit le mathématicies c’est toujours inévitablement les deux aspect, la règle pour garantir de l’erreur et le sens, la perception pour donner une valeur à la démarche. Il est vrai par contre que certaine recherche peuvent bel et bien s’effectuer sans le recours au sens, ce sont les recherche effectuée par l’ordinateur produisant des résultat par association de symbole selon les règles établis… : dans cette voir l’ordinateur serait plus fiable que l’homme . Mais dès lors même que le mathématicien utilise un théorème énoncé par cette machine, il lui donne un sens (pas forcément un sens global et interprété dans un modèle). L’impossiblité de s’affrachir du sens provient de deux raisons :
la première est le fait que nous sommes psychologiquement construit ainsi, le sens est donc une boligation incontrounable. Mais sous ce seul apsect, les mahtématique pourrait ce limité au plaisir de manipuler des symbole. Si le symbole et la règle était le seul attrait peu importe le sens qu’il porte, on pourrait dire que les mathématiques n’aurait pas de sens. Mais dans ce cas comment appeler symbole un objet vider de son sens. Car il y a bien une autre raison.
Cette seconde raison est le fait que les mathématiques ont un objectif, et le symbolismecherche à porter le sens qui le conduira à son objectif. Que cet objectif soit celui de modéliser la trame ou de répondre à des question interne, le sens est présent. Le symbole n’est jamais dénué de sens, au contraire l’abstraction grandissante du symbole, montre la recherche importante du sens à inteindre, et au niveau élémetaire qui fait des mathématique sans avoir donner un sensinitial au symbole qu’il manipule.
Aussi penser que les mathématique parce qu’elle se sont enfermé dans la rigueur du symbole ont perdu le sens n’est qu’une apparence du à la mécanicité des régles symbolique. Mais cette mécanicité même est la traduction du sens que l’on a trouvé dans la trame ou dans la cohérence de la trame.
Dans la démarche mathématique, plutôt que de dire il faut vider de son sens les symboles, il faudrait plutôt dire, il faut adapter ses idées à l’évidence que nous impose la règle, la démarche et les résultats. Ce qui je crois est fait par tout les bons mathématiciens plus ou moins différemment : certain plus fonctoriellement et d’autre plus sémantiquement. Mais en pratique le sens est fondamental et il est inspirateur dans la démarche et la recherche. Il me semble que c’est s’aveugler que de l’ignorer.

Ce principe n’est pas propre au mathématique il est universel, c’est le bon sens qui le commande.
La difficulté consiste en ce que l’étude approfondie des mathématiques renverse beaucoup d’évidence.
La nature particulière des mathématique à été évoqué par une foule de philosophes qui lui on donné un statut particulier.Mais en pratique peut-on dissocier vraiment la démarche mahtématique des autres démarches, c’est-ce pas toujours le bon sens qui guide (évidemment il demande une certaine technicité). Il me semble que ce rapprochement méthodologique des mathématiques aux restes des sciences et même au reste de la vie est un argument important en la faveur du bon sens comme base première.

Il est intéressant de voir dans l’histoire comme la démarche mathématique a évolué comme une interpolation, comme une balance entre la rigueur et le ressenti, c’est finalement le chemin du bon sens, et il est assez naturel. L’évolution s’est faite par approximations successives.
Platon sent la force des math est la pose comme une réalité supérieur. Voilà le ressenti de l’efficacité des mathématique et de la logique.
Aristote cherche le pourquoi et pose les base de la logique : c’est à dire qu’est-ce qui rend fort les math, qu’est-ce qui valide les maths. Voila la logique dans la trame, une recherche de rigueur dans la règles.
Descartes revient aux idées et donne la puissance de la réalité mathématiques en posant la primauté du ressentit sous forme de découpage en petits éléments évidents. Voilà le ressenti du fonctionnement de la logique.
Leibniz introduit la notion de calcul opératoire qui extirpe la rigueur des mathématiques de leur intériorisation. Voilà les base de la rigueur dans la trame.
Et aujourd’hui posé sur des base apparemment rigoureuses chacun use de son sens de sa perception pour utiliser ou construire les maths tout en reléguant la rigueur à la logique. C’est un constat construit et historique de la nature objective des mathématiques.

L’existence des objets mathématiques 
Une question importante se dresse peu à peu. Le fait que les mathématiques présente une petite part de subjectivité, que penser des constructions mathématique qui sont issue des question interne des mathématiques ? En effet, les mathématiques ont longtemps chercher à modéliser la trame, à chercher le sens, la rigueur, le mécanisme des structure apparente dans la trame. Mais il se trouve que depuis que les mathématiques on relégué à la rigueur symbolique la capacité de rendre fiable la démarche. Des question propre à ces symbole sont apparu. Les mathématiques se sont mise à générer des questions strictement existentielle, ou propre à sa nature. Des questions comme, que ce passe-t-il si l’on retire cet axiome au fondation logique du système ? En pratique la démarche s’écarte complètement de l’interpolation de la trame. En effet il ne s’agit plus de trouver les règles qui donner une perception rigoureuse des structure apparente, mais de trouver les conséquence rigoureuse dans la multiplicité des choix de bases. La tentation est grande car l’histoire à montrer la prévalence riguoureuse de la démarche symbolique sur la démarche perceptive. C’est la synergie du symbole avec le sens. Au lieu de placer le sens dans la trame, le symbole lui-même prend un sens et une valeur puisqu’il semble très objectivement fiable, pourquoi ne pas se fonder sur lui pour avancer.
Mais cette démarche soulève une question importante : quelle est la valeur, quel est l’existence, quel est la réalité des objets mathématiques qui n’ont comme fondement que la rigueur de la règle. Car malgré son principe de perfection inclus dans sa nature, la règle présente une certaine relativité :
par son humanité
par le fait que les fondements utilisé (les axiome de base) sont bien loin de l’évidence de la trame, il sont une construction de cohérence qui engendre l’édifice par la règle, mais il ne sont pas une nécessité au mathématique. Ils sont un prolongement acceptable et cohérent des mathématique de la trame.
Et surtout par le caractère d’interpolation et de multiplicités envisageables dans ces règles et ces fondements, c’est là la plus grande difficulté. Et cette multiplicité pose elle-même un problème : faut-il chercher une meilleure base dans une meilleurs interpolation de la trame ou alors c’est la règle qui prime puisque c’est elle qui apporte la rigueur.
Que penser alors de la réalité des objets mathématiques construit à partir de la règles plus que dans une recherche d’existence dans la trame. Si la règle est le garant de la rigueur, est-elle aussi le garant de la réalité ? Voilà une question très intéressante. La règle à montrer sa nature objective et sa force dans le bon sens. Est-elle alors suffisante pour dresser l’existences des objets mathématiques qui découle de son usage.
Plusieurs position sont envisageables :
La position la plus répandue (la position moyenne): la règle est suffisante dans le sens où elle a fait ses preuves de construction. Comment refuser l’existence à un objet construit par la règle sous prétexte qu’on ne le voit pas dans la trame, alors qu’il pourrait très bien y être. La géométrie de Lobatchevsky est une preuve flagrante de ce principe : c’est une géométrie construite artificiellement sur des axiomes qui trahisse notre perception naturelles, elle est donc purement issue de la règle et pourtant on a découvert ultérieurement que cette géométrie bizard pouvait servir de base à une construction réelle et objective dans la théorie de la relativité d’Einstein. La règle est la base de l’existence. Et même si un objet mathématique construit sur la règle ne se trouvait pas dans la trame pourquoi lui refuser l’existence puisqu’il est issue d’une règle et que la règle est suffisante à la construction. En pratique la position générale veille à utiliser des règles a peu près satisfaisantes pour le bon sens, elle n’utilise pas n’importe quel règle de base en tout sens. C’est la position moyenne : on accorde à la règle le droit d’existence, mais on choisi des règles satisfaisante.
Une autre position (la position du sens): Ce n’est pas parce que quelques constructions anecdotiques fondés sur la règle ont trouvé une application. dans la réalité que toute construction et toute règle en trouveront une. En effet certaines règles sont apparemment très loin de la réalité (l’axiome du choix, l’induction tranfini, …). Faut-il alors penser qu’on peut inventer n’importe quel règle et en déduire les conséquence. Les mathématiques deviennent alors un jeux de combinaison dénuer de sens. Un sens objectif hérité du bon sens n’est-il pas ce qui prime pour définir l’existence et la validité d’un objet. Il faut donc toujours soumettre la consruvtion à un jugement de bon sens pour en déterminer l’existence. Il est évident que donner au bon sens le pouvoir du juger de l’existence, rend l’existence tout a fait subjective. Ainsi le terme d’existence perd son sens, car existence signifie objectivité. Mais cette position est intéressante dans le sens où les mathématiques prennent un sens, elle ne sont pas livré à la liberté absolu de la règle ce qui conduit à la dérision de l’existence.
une position extrême (la position de la règle): C’est celle qui n’accorderait toute existence à la règle. Mais accorder toute existence à la règle suppose qu’on peut prendre n’importe quel règle. Y compris changer les plus grande évidence : par exemple accepter des règles contradictoire. Du point de vue symbolique cela ne pose aucun problème la règle est exempte de valeur morale. Tout peut y être fait. Pourquoi serait-il nécessaire d’adopter le principe de non-contradiction. Autrement dit tout objet mathématique fondé sur une règle existe. Cette attitude peut-être conforté par le fait que certaine logique non classique produise des résultats très acceptable. Refuser le principe de non-contradiction n’est pas forcément une hérésie. Car dans la vie il est difficile de vivre sans contradiction. Et l’on peut tirer certains intérêt de tel modèle logique. Mais il est évident de qu’entre contruire des logique non-standard et des logique délirante, il y a un pas. Doit-on alors accorder la même valeur de réalité aux objets mathématiques construit sur une règle délirante qu’aux objets mathématiques présentant du sens.
Je vais essayer de formuler mon avis sur la question : nous avons dit que la réalité d’un objet était le fait qu’il présentait une condensation dans la trame. Faut-il alors penser que la règle suffit pour justifier l’existence d’un objet. Pour cela nous allons rappeler une définition : Qu’est-ce que la subjectivité ? C’est s’attacher à une condensation mal définie, mais il existe plusieurs sortes de condensations mal définie : il se peut que le contour d’une condensation soit mal définie, mais il se peut aussi qu’une condensation soit crée de façon factice à partir d’éléments ne formant pas un groupement.
Peut-on dire alors que les objets mathématiques construit uniquement sur la règles sont factices ? Le fait que la règle existe soit utilisables, le fait qu’il soit le fruit d’une combination de symbole donne à ces objets une existence objective en tant que règle et construction. Il est donc malvenu de leur refuser toute existence, aussi délirante par rapport à la trame soit-il. Puisqu’il sont défini par combination de chose manifestement existante, il existe. Mais la question est plutôt ont-il une existence idéal au même titre que les construction mathématique utile à la trame. Là, il est plus difficile de répondre.dans le sens où on ne peut préjuger de l’utilité, il est possible que certaines construction parfaitement délirante possède malgré tout une utilité, reflète une condensation de la trame quelque part.
Par ailleurs le bon sens nous oblige à les refuser, dans le sens où des construction délirante, ne sont pas acceptalbe par le bon sens même. On sait que le bon sens peut se tromper. On se trouve quelque part confronté à un mur : à qui donner la prévalence au sens ou à la règle. Doit-on soumettre le bon sens à la règle parce qu’elle à démontré son objectivité et accepter la réalité d’objet manifestement hors sens.
Nous avons bien expliqué quel serait notre démarche dans de tel cas : le bon sens est prévalent sur la règle (mais c'est un choix d'essence moral). Voilà donc le choix que nous faisons.
Le bon sens est de refuser ces objets, mais dans ce cas un gros problème naît : apparemment rien ne permet d’établir une limite entre ce qui est réel et ce qui ne l’est pas. Et pire encore jusqu’ici nous avons montrer comme la règle est quelque part extérieur au bon sens et permet de le guider. Nous avons montrer comment la règle est utile est permet de renforcer notre bon sens en étendant sa capacité par la confiance dans la règle qui a manifesté son objectivité. Or à ce moment là nous somme obligé de rejeter la confiance dans règle, car la règle peut conduire au non-sens, à l’absurdité, voilà un trouble non négligeable.
Mais alors quel prise à la bon sens sur la règle, quel règle est digne de confiance et la quelle ne l’est pas. Autrement dit nous constatons le flou de l’objectivité de la règle et son insuffisance. La démarche est cohérente par rapport à notre choix de départ, et il n’est pas surprenant que la règle conduisent à des non-sens de la sorte. Mais ce qui est surprenant, c’est que l’on soit confronté à ce problème au sein de la discipline qui est la rigueur et la perfection par excellence. La science exacte. Le constat est le suivant ;
La confiance en la règle à montrer sa supériorité sur la confiance à la perception intuitive pour la construction. Mais la confiance en la règle conduit à des constructions pouvant être un pur non-sens.
Une solution consiste donc bien à choisir des règles qui ne conduise pas au non-sens, autrement dit si la règle permet la rigueur, le choix de la règle est de l’ordre du bon sens. Et l’on retrouve finallement un terrain qui ne s’est pas dérobé sous nos pas.
Mais revenons en à notre question de départ : doit-on refuser l’existence au objet issue de la règles. On peut grosso modo distinger trois sorte d’objet issu de la règle :
les objets qui interpole la trame,
les objets qui contredise la trame
et les objet qui ne sont apparemment dans aucun des deux premiers cas.
Si nous avons plu ou moins régler la question pour les objets du second cas, nous ne l’avons pas régler pour les objet du troisième cas. Car a priori rien ne s’oppose à ce que l’on construise de objets du troisième cas et qu’on leur accorde une réalité.
Et en fait la question n’est pas tout à fait terminer pour les objets du premier cas, car si certaines construction sont vraiment délirante ou erroné quand on les applique à la trame, il n’en reste pas moins comme nous l’avons dit qu’on peut les construire par combination de symboles. Il possède donc une certaine réalité en tant que construction possible et en tant que construction effectuée. De la sorte on peut dire qu’il sont bien contenu dans la trame.
Ouvrons ici une petite parenthèse : nous sommes ici aux abords du concept d'existence et nous en observons la subjectivité : on ne peut pas toujours dire « il n'existe » ou « il n'exite pas », mais « il existe avec tel forme d'existence ». C'est un constat important pour la notion d'existence qui nous avons souvent présenté comme un concept fondamentale. Nous avons d'ailleurs eu ce tord de nous attacher à connaître systématique la réalité des choses, alors que ce n'est pas une notion applicable à tout, en tout cas pas de façon uniforme. La réalité aussi est une notion qui possède ses contours, ses subjectivité. Mais pour clore cette parenthèse en nous justifiant sur notre rigidité, on dira que notre objectif était de connaître la consistence du mot « réalité » envers chaque objet de la trame par les liens de sens qu'ils établissent, et c'est bien ce que nous avons fait. En nous centrant sur l'idée de réalité en toute sorte de lieu, on a progressivement observé la morphologie du concept abstrait de « réalité ». Ce lieu des mathématiques formelle est un lieu d'observatin assez particulier. Au terme d'un parcour approfondi, on devrait pouvoir finir par observer aussi la subjectivité du concept de réalité. Mais observer la subjectivité est un travail beaucoup plus difficile qu'observer la morphologie, nous n'entreprendrons pas cetet tâche. Revenons maintenant à notre discours mathématiques.
Le problème c’est l’interpolation au reste la trame : la règle présente-t-elle une existence qui dépasse cette construction.
Et c’est là qu’à mon avis se situe le nœud du problème : quel est la porté de nos construction établie par la règle.
Construire par la règle ne pose pas de problème, la rigueur donne une construction qui présente une existence en tant que telle quel que soit la construction (car la trame est aussi histoire, même si c'est une dimension qui n'est pas habituelle au mathématiques). Seulement il me semble que la vrai question est plutôt : quel est la portée de ces pures constructions dans la trame. Existe-t-il dans ces construction un sens universelle, un sens reproductible et donc un sens scientifique. Il est évidemment difficile de juger de cette question, car on ne connaît que très peu la trame.
Comment alors guider la construction, comment faire des mathématiques. Faut-il faire des mathématiques pour elle même quand ls construction n'ont plus aucune conformité avec un autre réel. C’est là que ce situe la question pour le mathématiciens qui construit des objets. Mais c'est une question d'ordre morale, c'est la question du « que faire ». Pour y répondre, il faut un sens morale, mais il faut aussi connaître les tenant et les aboutissant de chaque réalité.
Si un modèle axiomatique est satisfaisant à bien des niveaux pour interpoler la trame, doit-on alors lui faire confiance et accorder la réalité à tout objets que l’on construit avec ce modèle qui n’est pas contradictoire ? Doit-on chercher à éclaircir les conséquences du modèle, les constructions issues du modèle sans cesse. Doit-on répondre à toutes les questions interne du modèle pour construire tous le objets qui sont proposé par le modèle. En quelques sortes, doit-on mettre la seule règle pure comme motivation de l'activité mathématiques, comme seul sens à atteindre. Les percée de sens dans une direction unique donne l'impression de perdre le sens. Car la profondeur du sens vient de l'intégration de la multiplication des liens. Dans une telle pratique, on a l'impression d'un sens réellement pauvre.
On peut donc reprendre la question de la réalité mathématiques symbolique : d'un côté la pratique des mathématiques formelle se présente comme très proche d'une réalité abstraitre immensément présente dans la trame. Difficile d'hésiter à lui accorder le statut de réalité. C'est sa présence, c'est l'uité de sens quel produit qui donne aux mathématiques symboliques (ou plutôt à la logique symbolique) ce sens si fort. A l'inverse certaine pratique de cette réalité semble tellement éloignée de toute autre réalité sensé qu'elle donne l'impression de ne tenir au reste de la trame qu'à un fil (qu'à seul sens). Cette pauvreté de sens atténue d'autant l'idée de réalité qui pourrait être définie par « la richesse du lien de sens présent dans la trame (et pas dans notre seul pensée) ». On rencontre un profil très spécial aux mathématique formel : une réalité profonde comme celle d'un socle qui peut aussi servir de support à des réalité très pauvre, et ce n'est pas là qu'une image, c'est plutôt un constat.

Intérêt des mathématiques
Pertinence de sens ou de moralité
Au vu de mon discours, il me semble que la question intéressante n’est pas premièrement la réalité des objets qui peut toujours être acceptée quels qu’ils soient. La question n’est pas premièrement de trouver un modèle axiomatique dans le quel on se sent à l’aise pour construire toute réalité mathématique. La première question est une question morale : c’est la question de l’utilité des constructions.
En effet autant de base autant de mathématique différente, autant d’existence, tout est réel plus ou moins, mais tout n’a pas la même valeur dans le sens où la valeur serait mesuré par la quantité de sens dans la trame (une sorte de valeur de la connaissance, mesurant en fait sa pertinence). Mais on sent que le débat est mouvant car le nombre de lien de sens ne définit pas la pertinence du moment, de l'utilité présente. Et l'utilité présente une notion de finalité, on revient donc au sens de la vie : quel mathématique faut-il faire pour répondre au sens de la vie ? Encore faudrait-il savoir quel sens choisir.
Et donc la question prend une tournure morale. Le bon sens global qui cherche à donner une explication à la vie doit trouvé la place des construction que produisent les mathématiques: c’est la cohérence générale qui défini le choix de la direction. Mais évidemment, on sait il n’y a bien des surprises à attendre, le débat n’est jamais clos dans le sens où la question du bon sens se pose à chaque étape.
Et évidemment les maths sont multiples : si au départ l’objectif était de modéliser la nature ont s’est aperçu en cours de route que les math avait une existence plus vaste que cela, et en particulier une existence autonome. Et donc il est naturel d’étudier les conséquence d’un choix axiomatique. Cela signifie que l’utilité n’est pas seulement une utilité productive, mais une utilité générale : la question de connaître le sens, les fondement de ce que nous manipulons possède l’intérêt d’étendre la portée du bon sens et donc les capacités pratique et donc l’utilité, on l’a vu sans cesse dans l’histoire. Ainsi construire des objet mathématique dans le cadre d’un modèle axiomatique n’est pas vain, même si l’utilité n’est pas pratique, elle peut être de chercher le sens et la porté du modèle axiomatique et donc l’utilité du modèle. Et en effet les mathématiques curieuse et autonome ont beaucoup fait réfléchir les philosophes.
On comprend que l'utilité morale dépend beaucoup du « moment historique ». L'utilité de sens (la pertinence sémantique) possède elle aussi une histoire, mais c'est une histoire beaucoup plus continu car accumulative dans l'ensemble.
Avancer sans but, sans désir d'unité, sans désir de percer le mystère d'une structure me semble un non-sens ou bien de l'art, et donc pas utile (au sens sémantique). Comme nous venons de le dire, la construction d’objet mathématiques peut très bien limiter son objectivité à leur seule construction, piètre pertinence. Ce n’est donc pas construire des objets qui est intéressante, mais c’est connaître l’intégration , le sens, la portée et la connexions sémantiques des objets avec l’ensemble de la trame.
Cette volonté de sens inciterait à maximiser l'intégration des mathématique avec la trame. Seulement l'histoire a montré que des recherches autonome et assez éloignée du réel permetait justement de créer des raccourcis dans la trame (ou plutôt de nouvelle perception de lien). Ce n'est pas étonnant puisque une grande partie de la trame est de nature logique. Maintenant, il ne faut pas y voir un généralité ; les recherches solitaire reste souvent solitaire.

Mathématiques diverses
Parlons alors de la valeur du choix des règles. Toutes règles ne sont pas utiles dans le sens où elle ne maximise pas le sens avec la trame. Certaines sont plus utiles que d’autres. Par exemple le rejet complet du principe de non contradiction dans la logique mathématique conduit à pouvoir tout construire : ce qui présente un intérêt relatif. Evidemment en modulant ce rejet, il y a sans doute bien des conclusion intéressante.
Prenons un exemple : l'attitude des mathématiciens pour ceux qui ne font pas de mathématique selon les règles classique. Il existe par exemple des mathématiciens que l'on nomme constructivistes parce qu'ils ont décidé de se limiter aux règles qu'ont pourrait appeler réaliste : l'homme limité ne peut pas envisager des règles suggérant des mécanisme humain que l'esprit ne peut entrevoir. Or les mathématiques classique utilise souvent des règles peu réaliste.
Pour ce qui est de leur lecture sémantique, ces règles semble passablement ahurissante pour elle même our pour leur conséquence (On pourra voir le paradoxe de Banach-Tarsky disant qu’il est possible de découper une boule en deux morceaux qui sont deux boules identiques à la première : on aurait donc un doublement du volume sur une simple découpage. C’est une des conséquences inéluctable des règles communément 'admise' en mathématiques que sont l'axiome du choix et la strucutre des nombre réelle en trois dimensions). 
Par contre pour ce qui est du symbole, elle ne pose pas de problème, elles sont des règle de nature appramment non contradictoire comme toutes les autres.
Aussi il s'agit bien de mathématiques, mais de mathématiques dont le sens s'inspire du réel mais semble le dépasser. Ce sont là des réalité assez curieuse, mais c'est pourtant le lot commun des mathématiciens.
Pourquoi cet engouement pour le dépassement du réel. En fait, l'engouement n'a pas lieu pour le dépassement du réel, mais pour l'efficacité réel qu'apporte ce dépassement du réel. En effet les mathématiques produit pas ces symboles conduisent beaucoup plus facilement à de nouvelles découvertes (beaucoup de ces découverte ont été réjointes ultérieurement par les mathématique constructives, mais toute ne le peuvent pas).
Ainsi c'est l'efficacité du symbole qui dicte le choix. Le problème qui se dégage est donc faut-il maximiser le sens des mathématique ou l'efficacité des mathématiques, et c'est là un problème de nature morale.
On comprend très bien l'attiude de ces pionniers qui veulent découvrir de nouvelle terre, il le feront avec des outils plus efficaces.
Mais une réflexion sur la nature des mathématiques devrait redonner du crédit à ceux qui veulent donne rplus de sens au mathématique.
En effet la trame extérieure contient une immense réalité logique. Si l'on cherche à connaître la trame, on se dirigera vers des mathématiques plus constructive. On pourra même aller beaucoup plus loin. C'est dans cet esprit que sont né de nouvelle logique : être au plus près du réel. Certaines réalité logique (organisé en règle qui semble univoque) sont mal rendu par la logique classique. Aussi beaucoup de mathématicien (logicien) ont chercher à en rendre compte par des logique qui semblait plus proche du réel.
C'est en cherchant les meilleures bases que la morphologie de la logique s'est séparé. Cela dépend de l'objectif à atteindre. Il y a des bases pour un objectif d'efficacité de prolongation de l'objectivité, ce sont les bases des mathématiques classique, qui sont parfois très curieuse, notamment dans la façon dont on gère ce qu'on appelle « les ensemble infini ». Il y a les base mimimal dont la recherche est la maximiasation de pertinence sémantique. Dans ce sens, les mathématiques constructive m'apparaisse comme une première étape, je pense qu'il y a encore beaucoup à faire pour les rendre plus proche de la réalité notament le choix de leur point de départ qui est le même que pour les mathématiques : la notion d'ensemble utilisé ne me semble pas la notion la plus naturelle de la réalité. Mais c'est là un avis fondé sur un instinct qui manque probalement de profondeur. Pour reconstruire les mathématiques et qu'elles reste conforme à leur objet, il faudra garder l'univocité et les règles en les rendant le plus pertinent possible.
Cette multiplicité d'approche de la forme symbolique, n'est pas surprenante, elle montre l'existence d'une subjectivité résiduelle entre la trame logique et son usage dans le langage mathématique. Cette subjectivité de La Logique (vu comme ensemble des règles univoques), soit plus large que ce que l'on connait actuellement.
Le fait que la logique symbolique peut révêtir des formes diverses selon l'objectif recherché nous montre que La Logique contient encore bien des mystères à découvrir, une morphologie qui aura peut-être encor beaucoup pour nous surprendre.
C'est peut-être de là que vient le plaisir du mathématicien et encore plus du logicien : l'idée de voir quelque chose d'immensement réel. La logique est une réalité de la trame en même temps très large et très profonde.

Quel est l'utilité de la logique. Son utilité est primordiale car elle la source du raisonnement mathématiques  : prolonger l'objectivité du sens le plus efficacement possible (avec des nuance non négligeable). La recherche logique est donc indispensable pour rendre plus utiles les mathématiques qui sont déjà utiles. La recherche logique est une recherche mathématiques dans les mathématique (en s'inspirant ou non de la trame extérieure aux mathématiques). La recherche des bases, la recherche du recul renforce l’utilité des math en renforçant la précision, le contour et aussi les possiblités des mathématiques en adaptant les bases au besoin.

Au vu de tout ce discours, j’exprime un sentiment esthétique personnel : si certain on appelé la « théorie des nombre » la reine des mathématiques, moi, je pencherai bien davantage pour la logique qui est le lieu où se traduit le mieux l’essence des mathématiques moderne. La théorie des nombres étant l’étude approfondie d’une structure particulière certes très foisonnante surprenante et formant une unité impressionante. Elle était la reine des mathématiques anciennes car elle montrait la direction: étendre la connaissance du monde logique. La logique, elle, l’étude de la nature de ce « monde longique », elle est donc le nom de famille des mathématiques.
Comme nous l’avons expliqué la valeurs des règles est purement subjective car morale, et donc dès qu’un choix de règle est établi, la logique de ces règles s'applique, et tout redevient des mathématiques. Dans la vie il y a toujours cette double tendance : vivre et comprendre, le « comprendre » ayant pour objectif le mieux « vivre ». Le logicien cherche à comprendre ce qu’il comprend, et le mathématicien cherche à comprendre ce qu’il vit. Mais une tel frontière est un peu arbitraire car il serait illusoire de croire que l’on ne choisisse qu’un mode de vie parmi ces deux.

La nature des mathématiques 

Première approche
Je pense qu’il est temps d’essayer de chercher une définition aux mathématiques telles qu’elles sont grossièrement aujourd’hui vécus. Cette définition sert à cadrer le sens et l’utilité de cette démarche. Il est nettement probable qu’au regard de la trame qui est toujours sans cesse ramifié, les mathématiques n’aient pas de définition précise. Mais en cherchant celle qui me semble le plus simple, la plus globale après tout le discours que nous avons eu. Il me semble que toutes les mathématiques peuvent s’inscrire grosso modo dans la démarche suivante :
le choix de règles univoque (choix subjectif ou incité).
l’application de ces règles, l’étude de leur conséquence.
donc au total suivant qu’on se place dans l’optique du sens ou dans l’optique symbolique, les maths sont l’étude des structures ou des règles. Mais ces seules concept présentent une définition trop vaste, nous la préciserons un peu plus loin. Commençons par comprendre en quoi toute les maths s’inscrive dans cette définition.
En effet les mathématiques commence avec l’enfant sur le banc d’école qui apprend un ses tables ou qui plus tard résoud un problème, elles se poursuivent avec le logicien très spécialisé qui étudie les limites d’un système axiomatique, ou bien l’ingénieur qui veut construire un pont… Même si dans toutes ces attitudes, il y a souvent beaucoup plus que la simple étude de règle, il y a la démarche que nous avons cité. Nous pouvons donc commencer par posé que cette attitude correspond à la partie mathématique de leur travail.
Dire que les maths sont le choix de règle et l’étude de leur conséquence n’est pas limitatif car par choix de règles il y a aussi les règles du 2ème niveau qui définisse l’usage de ces première règles, et les règle 3ème niveau qui définisse l’usage de celle du 1er niveau, et peut-être beaucoup plus que cela, car ce n’est qu’une façon d’aborder le problème. Il y a donc de la matière en perspective. Et ce qu’on appelle aujourd’hui les métamatématique, me semble au contraire être tout à fait inscrite dans la nature des mathématique.
Si une bonne partie des math cherche à modéliser la nature et en cela certains choix de règle dessine mieux les évidences de la trame, il ne sont en rien plus des mathématiques que les autres. Les mathématique sont donc tout simplement la sciences des règles ou la sciences des structures. Il se trouve qu’on peut chercher inspiration de règles et surtout de structures (règles particulière ayant plus facilement une représentation mentale) dans la nature (Cette inspiration s’appelle la modélisation) . De sorte qu’un choix initiale provient du regard sur la nature et que les mathématique cherche en vertue de ces choix de règles et d’autre règles mathématiques (choisi ou admise) quels sont les conséquence de ces choix.
On s’est longtemps demandé si les maths avait une base commune, on pourait alors les appeler la mathématique ou si au contraire, il n’existait pas de base commune aux mathématique et qu’on doivent alors l’appeler la mathématique. Il me semble qu’une partie de cette question provient d’une méprise consistant à confondre la pratique mathématique et l’utilité mathématique. Au début du siècle dernier, on a enfin espérer unifier les mathématiques par le découverte de règles communes et malheureusement elle se sont aussitôt divisées, multipliées et ramifiées. Il faut donc aujourd’hui s’apercevoir clairement que les mathématique ne procède pas d’une série restreinte de règles qui sont à la base de tout l’édifice, tout en constatant que les règles peuvent bel et bien être amené à un nombre assez restreint. L’unité de mathématiques est-elle perdue ? Personnellement, il me semble que non, car en pratique et dès leur origine et aujourd’hui plus que jamais, toute mathématicien n’a jamais fait que cela :choisir une règles et étudier ses conséquences dans un cadre d'univocité.
L'univocité pourrait peut-être suffire à définir les mathématiques, cela reste à confirmer. Mais il semble bien que les mathématiques soit le seul lieu où le sens semble être inaltérable par les contextes qui le malmène. Or ce lieu de l'univocité est celui des règles et de leur usage.
Nous avons déjà aborder la dialectique qui existe entre le choix d'une règle et de son usage. En montrant que logique et mathématique naviguait sur le même terrain des règle univoque, mais en des lieux différents : les mathématique vers l'usage des règles (donnant de nouvelle règle), et la logique vers la découverte des règles minimal.

Définitions
Les maths sont donc la découvertes des conséquences du à un choix de règles.
La nature de ces règles mathématiques demanderait à être précisée : en quoi diffèrent-elle des règles physiques, des règles morales, des règles légale ? Nous abordons là la frontière flou des maths : on aurait tendance à dire les règles mathématique doivent être mécanique, symbolique et univoque.
Mais on s’aperçoit que le terme « mécanique » fait référence au fonctionnement de la matière et l’image ne peut-être vraiment prolongée en soit car on serait bien incapable de préciser quels sont les processus qui sont mécaniques et ceux qui ne le sont pas.

Quand au terme « symbolique » il fait essentiellement référence à la psychologie ajoutée d’une idée de remplacement qui peut-être un peu moins psychologique, mais doit-on croire que les mathématiques sont réduite au principe d’un remplacement d’une idée par un objet qui l’exprime.

En ce qui concerne l'univocité il n'est pas forcément beaucoup plus facile à définir parce qu'il fait référence à la notion de voix (sous entendu de sens) qui est loin d'être objectif (on pourra se référé à la théorie de la connaissance qui affirme qu'un sens n'existe jamais deux fois à l'identique).
L'univocité
En fait l'univocité suffirait probablement à définir les mathématiques, si l'on parvenait à bien la définir. Tentons l'expérience. Notre cadre de travail est le bon sens qui regarde les mathématiques dans la trame au travers de notre modèle de la théorie de la connaissance. On reconaitrait l'univocité d'un concept si les liens de ce concepts dans tous ses sens possible posséderait toujours un motif de sens identique. L'abstraction de ce motif serait le concept univoque. Cette essai de définition nous mène très prêt des mathématique : un motif constat dans tous les usages. Il faut un motif rigide et surtout reconnaissable. Comment construire de tel motif ? La géométrie évidemment, mais aussi les graphes (mathématiques) qui sont les relation de liaison. Ou encore les remplacement symbolique (qui est la règles utilisé en mathématiques), bien d'autre encore. On reconnaît là tous les cadre de l'usage mathématiques : les motif rigide (qui ne sont pas soumis à la subjectivité). Il se trouve que chacune se ramène à l'usage de règle (et pas toujours de façon élémentaire rappelons nous comme la spacialité diffère fondamentalement de la règle symbolique).
Existe-t-il d'autre lieu d'univocité que ceux découvert par les mathématiques. Existe-t-il d'autre forme de l'univocité, de la rigidité objective qui diffère profondément de la nature mathématiques, en particulier qui ne se soumette pas à une traduction sous forme de règle univoque ? C'est possible. C'est pourquoi je prèéfère définir les mathématique par règle symbolique univoque.
Mais en pratique on comprend qu'univoque est assez difficile à percevoir si on ne pose pas les règles de l'univocité. Or ce cera l'expression de ces règles qui formeront la symbolique.

Vision d'univocité
C'est exactement ce qui est arrivé pour la spatialité (la géométrie vu comme objet spatiaux et non comme définition axiomatique). On a peut-être donc là notre réponse : la spatialité offre le lieu d'une univocité dont les règles ne rende pas forcément complètement compte. En effet notre perception spatiale nous montre « des réalités » que la règle ne montre pas. A moins que ce soit un leurre, car ce que nous montre la spatialité est loin d'être univoque (que d'erreur chez les élèves de mathématique à ce sujets). Mais alors quelle cette réalité univoque (on peut l'affirmer à cause des règles) que nous montre la spatialité ? Comment se fait-il qu'on puisse deviner bien des règles symboliques par la spatialité sans passer par les règles. A-t-on notre candidats. Il se peut que oui, car il est assez proche de toutes les contrainte évoqué.
il n'est pas étonnant qu'on se trompe sur l'univocité car un accès sans règles suppose un accès par les concept des sens et donc très subjectif. Ce qui n'empèche pas de discerner une univocité par convergence asymptotique (et par les règles bien sûr)
l'univocité présente dans la spatialité est réduit au règles par une série d'axiome de définition, Mais ces définition ne rende pas pas complèment compte de tout l'univocité qui est perçu spatiallement, l'intuition le montre.
Ainsi l'existence d'univocité dans un lieu de la trame s'exprimera par des règles. On peut penser que ces règles pourrons donner lieu à une écriture symbolique. Reste à savoir s'il existe autre choses que cette écriture symbolique qui soit une réelle univocité (que nous sommes peut-être incapable d'apréhendé en tant que tel par notre acquisition subjective des concepts). Et reste à savoir si cette écriture symbolique se résume toujours à la logique mathématiques.
Cela fait beaucoup de question sur un terrain très glissant, mais c'est les question posé par le conept d'univocité mathématique. Au résultat, il semble que la règle symbolique soit plus ou moins incontournable parce qu'elle semble être la seule expression manipulable de la rigidité, le reste ne serait que sensation subjective, il est donc impossible d'en conformer l'univocité.
Cela nous conduit à l'idée que la logiques symbolique et plus largement les mathématiques, sont peut-être la perception accessible de l'univocité parmi toute celle qui existe dans la trame. En comparant les mathématiques à l'histoire de la physique, en imaginant tous les lien de sens suprenant qui existe, on peut envisager de découvrir de nouveau pas de cette univocité par des techniques à venir.
Au demeurant les mathématiques sont donc l'univocité exprimé par la règle et le symbole (qui vont ensemble). Essayons d'approfondir ces éléments.

Les règles et les symboles
La règle mathématique est fondamentalement une règle symbolique. Elle va bien au delà de l'aspect mécanique.
Pour s'approcher de la règle symbolique, il faut dissocier les mathématiques dans la nature des mathématiques dans l’esprit. Les maths dans l’esprit traduisent les mathématiques de la nature par une mentalisation approchée (par interpolation avons nous dit). Il faut alors communiquer les maths et les symboles sont une nécessité pour se comprendre : résumé en un concept unique des chose complexe, c’est le principe de l’esprit et c’est là la base de l’usage des symboles qui serve à communiquer les maths. Mais il se trouve que les mathématique ont une autre nature que ces symboles et c’est cette nature là qu’il convient de préciser. En quoi les mathématique diffèrent des autres règle : ce n’est pas en l’usage de symboles qui est commun à beaucoup. Ce n’est pas non plus en une certaines méthode de l’usage de ces symboles. La nature des mathématique est d’abord dans la trame. L’usage symbolique est définit par une double interpolation de la nature (l'interpolation de la perception et celle de langage). Les règles et de façon plus générale la notion de règle est dans la nature. Les mathématiques sont donc l'interpolation la plus fidèle possible des règles univoque de la trame avec une recherche d'abstraction (de synthèse) maximale .

Quel est alors la nature de ces règles symbolique : nous avons vu l’insuffisance des terme mécaniques et symboliques. Nous savons en quoi l’idée de symbolisme contient un biais induit par la mentalisation. Alors en quoi réside la nature de ces règles mathématiques : C'est premièrement l'univocité.
Mais il convient peut-être d'essayer de définir ce que sont les règles symboliques au delà de leur univocité.
On peut se limiter au règle des langages symboliques de la logique (l'enchainement mécanique de symbole ou bien considérer les règle logique de façon plus générale en incluant le sens de représentation mental qu'elle porte). Mais en pratique les deux comportent a peu près le même type de schéma :

Conformément à toute notre approche, nous verrons ici une forme simplifiée de la logique que se conjugue selon des subtilité variés et croissante. Notre logique a pour forme général la transformation d'un sens objectif en un sens nouveau et lui aussi objectif.
On poura dire que ces règles sont organisées en imposant des formes à plusieurs niveaux du langage. Ces formes imposées concernent:
les symboles qu'on peut appeler les variable. Les formes imposées sur les symboles désigne la nature de ces variables qui peut être elles fort complexe (défini par beaucoup de contrainte et de symbole).
les contraintes sur ces symboles. La forme imposé d'une contrainte défini le « shéma initial » de la règle qu'il faudra reconnaître dans la nature pour appliquer la règle logique. On défini alors de la même façon le (schéma final ».
Une règle logique consiste alors à affirmer que si le schéma initial est reconnu comme objectif alors la fabrication du sens issue du schéma final sera aussi objectif. Et ce da façon universel dans la trame (... la où le schéma global est reconnu, c’est-à-dire là où il fonctionne, ce qui redonne la modestie nécessaire).
Il s'agit d'une forme très simplifié de la logique. Car la logique possède beaucoup plus de subtulité que cette seule approche. Cette apporche est celle qui nous interesse pour la reconnaisance de l'objectivité de la trame. Mais il est d'autres réalités propres de la logique que l'on peut mettre en évidence.
Il serait intéressant de voir ce que donnerait cette approche particulière de la logique de façon précise et formelle, mais je n'en ai pas le courage... ou plutôt mon intérêt est ailleurs : la recherche d'un perspective la plus large possible de la réalité.

Il ne faudrait surtout pas oublier de dire que ces règles trouve leur sens, leur intérêt leur usage dans le reconnaissance des symboles et des schéma (les schéma pouvant eux même être désigné comme des symboles).
Un point très surprenant de cette description est que l'on peut reconstruire du sens à partir d'un schéma. C'est un peu là le miracle mathématiques, c'est un peu la la le miracle logique. Mais on peut tout de même donner quelque précision. La reconnaissance de la forme pouvant être enfermé dans un symbole (un concept dans notre théorie de la connaisance) est le coeur du mécanisme. Le sens peut être soumis à une forme prédéterminé pourvu qu'elle respecte un temps soit peu les stimulation d'entrée, c'est ce que nous avons appelé « le principe de transposition » dans notre théorie de la connaissance. La perception de sens est donc capable de fabriquer ce sens (il est même tellement capable de le faire qu'il peut le faire dès qu'il existe une ressemblance assez lointaine : rappellons nous que la reconnaissance consiste en une association et en des test de stimulation). Le miracle c'est donc que le concept ainsi fabriqué soit alors présent dans la trame. Mais la trame est ainsi faite : elle est de nature logique.

L'accumulation itérative de ces règles donne d'autres règles. Le constat magnifique de la logique est que peu de règle suffise à construire l'ensemble de toute les règle connu.

Base simple
Un autre question, qui peut-être posée sur ces règles, est celle de leur simplicité. Les règles doivent-elle être simple pour être mathématiques.
Techniquement comme nous l'avons vu ce n'est pas une carctéristique fondamentale des mathématiques. C'est par contre une caractéristique humaine que de rechercher les sens simples et esthétique. La simplicité permet la facilité d'accès et l'esthétique c'est sous une certaine approche un maximisation de sens et donc de pertinence.
Le constat d'une grande similarité en des lieux très différent cumulé à ce désir a conduit la discipline mathématique à se former en une discipline autonome : la logique qui recherche une forme minimal dans la présentation de ces lois. Et le constat fut une surprise assez impressionnante : les bases sont relativement très réduite (plusieurs socles sont possibles). C’est là un trait tout a fait surprenant de la trame.
Mais comme nous l'avons dit en même temps que l'atroitesse de la base on découvrait la subjectivité de celle-ci : plusieurs bases sont possible. Mais aussi la subjectivité du matériaux logique : plusieurs base de type incompatible donne lieu à plusieurs sorte de logique.
L'unité est cependant acquise par l'univocité et les règle symbolique. Il reste à déterminer la forme de cette univocité et il y a encore beaucoup de travail. Au vu des recherche, je ne serais pas surpris que l'univocité s'allie dans un mariage étrange avec la subjectivité.
Miracles mathématiques
Pour définir les mathématiques, on pourrait finir en parlant du miracle mathématique. Habituellement le miracle mathématiques est désigné par les mathématiciens comme le fait extaordinnaire suivant : ce qu'on élabore dans la théorie mathématique en suivant des règles de l'esprit est un outils parfaitement adapté à la nature. Pour réaliser ce miracle il faut quasiment être un mathématicien.
Un deuxième miracle mathématique est le fait que des approches très différentes conduisent à des résultats similaire. Ce dans ce genre de constat qu'on a cru percepvoir l'unité des mathématiques.
Les mathématiques qui sont une construction de l'esprit humain (les règles mathématiques sont un choix humain) sont en fait la découverte d'une réalité extérieure : cette réalité visible par plusieurs faces sans décrochage vu comme une sorte de miracle : l'émerveillement de la coïncidence systèmatique sans qu'on arrive à voir de « raison explicative ».

Revenons sur ces miracles : le premier miracle qui consiste en l'adéquation des constructions humaine avec la nature trouve une explication dans le réalisme des mathématiques : les structure mathématiques ne sont pas simplement une construction humaine, c'est une règle de structure qui existe dans la nature. Si la formulation est humaine, les règles qu'elle décrit sont issu de la nature et décrive la nature. La nature est faite avec ces règle mathématique. Non seulement elle existe dans la nature, mais la nature les respectes, ces règles sont une lois d ela nature dans leur cadre : quand une loi mathématique s'applique dans un domaine de la nature, toute les conséquence issue de ces lois s'applique. C'est d'ailleurs l'objet de la physique que de chercher ses lois et leur domaine d'application. Ce miracle décrit une nature des mathématique : celle d'être une forme de la nature.
Le second miracle qui s manifeste dans l'unité mathématique est issue de la même réflexion : puisque les mathématiques sont une réalité puisque la formulation est humaine, il n'y a rien d'étonnant que des formulations différentes se croisent en une multitude de point. Il s'agit seulement de parcours différent sur une seule et même réalité qui forcément ne possède qu'une seule forme et qui donc se retrouve sans cesse. Ainsi, l'unité mathématique vient tout simplement de sa réalité. Et la surprise de cette unité vient du manque de perspective humaine de cette réalité.

Venons en maintenant à une troisième surprise qui est à mes yeux théoriquement moins perceptible. C'est l'existe dans la nature mathématique de deux faces complètement différente s pour chaque même réalité : la face symbolique accessible par l'application mécanique de règle et la face structurelle accessible par la mentalisation des structure. Les premières mathématiques se font comme un actes de fidélité à l'absolu des règles mathématiques. C'est l'usage de la règle symbolique : les mathématiques sont alors un jeux de construction d'une précision extrême et pourtant très maniable, pratique et fiable. L'autre face, c'est la perception des mentales des structures formelle, dans ce cas les mathématiques se font par l'abstraction et la représentation mentale de structures. Le miracle mathématiques consiste à remarquer que le symbolisme est fiable pour décrire la mentalisation. Autrement dit, on peut faire confiance aux règles symbolique pour décrire la nature des structures formelle que nos percevons dans la trame. Et cette fiabilité est surprenante : elle peut pratiquement être aveugle, ce qui signifie que l'on peut quasiment s'affranchir de percevoir les réalités de la trame. Je dis quasiment car il est difficile pour le sens de s'affranchir d'une représentation. On a besoin de sens, par contre la confiance dans les résultats issus de prémisses formellemment fondée (par l'expérience semble être sans aucun conteste. Il faut bien comprendre que les deux approches sont complètement différente: l'une est portée vers la perception , l'autre vers la soumission à la règle. Il se trouve que l'histoire à montrer que la mentalisation était trop souvent imparfaite pour suffir, l'homme est faillible dans sa représentation. Les mathématiques même vu comme structure ont une réalité implacable que notre psychologie a beaucoup de mal a s'aproprier dans la précision. On en « voit » pas naturellement les exceptions que la règles rigoureuse découvre aussitôt. C'est pourquoi l'usage de la règle pour décrire les mathématiques est quasiment indispensable. (Je pense que l'usage stricte est possible mais plus il devient précis plus il s'agit de percevoir la règle). Maintenant il faut comprendre à l'inverse que les mathématiques avec la seule règle, n'est plus qu'un jeux de construction quasiment vain. Ce serait demander à un aveugle de construire une image coloré en allumant des pixels sur un ordinateur : allumer des pixel n'est pas difficile, l'effet global ne peut-être donné que par un regard global. Sans le sens global des structures, on peut se demander l'intérêt de la règle mathématique est limité. Ainsi le sens des mathématiques, c'est la compréhension et l'usage des structures. Se limiter à l'usage de la règle sous l'avantage de la fiabilité c'est désincarner les mathématiques de leur sens le plus utile, le plus large, le plus lié à la réalité, le plus objectif. Toute avancée, tout nouveau terrain conquis n'est-il pas d'abord une perception nouvelle de structure formaliser par de nouvelle règles ?
Il aurait été regrettable de parler des mathématique sans montrer cette dualité profonde des mathématique. Cette consistance qui échappe à la logique. Cette dualité : la règle et la perception globale (qui sont loin d'être dissociés d'ailleurs). Cette nature profonde des mathématiques qui est des plus suprenantes et des plus curieuses : la règle formalisé décrit si bien la réalité structurelle qu'elle permet souvent de s'affranchir de la perception des structures elle-même pour l'utiliser. Les mathématiques possède une double lecture de sens (qui parfois sont confondu). Cette grande proximité de deux choses a priori très différentes donne l'impression d'un « miracle ». Mais finalement on peut aussi le voir comme un fondements de la nature mathématique découvert dans la lecture de la trame par l'apprentissage du bon sens. C'est une unique réalité qui donne lieu à deux schéma de sens possible. C'est beau, mais c'est un phénomène assez courant de la trame.

Pratiques mathématiques
Je distingue grosso modo quatre façons de pratiquer les mathématiques:
les mathématiques appliqué : utiliser les mathématiques comme des outils forger par les spécialiste qui permettent do prolonger l'objectivité. C'est les mathématiques appliqué au monde réel.
La modélisation mathématiques : c'est la recherche des formes mathématiques qui sont le plus adpaté à la prolongation de l'objectivité en certains lieux de la trame.
Les mathématiques de mathématiciens : c'est l'étude de toutes les formes univoque (que l'on peut manipuler avec le sens ou avec la règles).
Les logiciens : ce sont les mathématiques qui cherchant les formes de la règle de l'univocité.
De l'absolu mathématique
Maintenant que nous possédons un regard morphologique sur la nature des mathématiques, on peut aller un peu plus loin sur la nature absolu des mathématiques. L'absolu mathématiques est visible dans le fait que les mathématiques formelles permettent d'étendre l'objectivité sans perte par extension. On assiste là à une déduction fiable. Cette fiabilité repose sur le constat de non contradiction par un usage immense et répété. Les mathématiques formelles sont donc bien le lieu d'une forme de réalité absolu en apparence, dans le sens où cette réalité ne peut être mise en défaut : l'expérience atteste en toutes lattitudes que la conformité à la règle formelle garantie la fiabilité de la forme construite.
L'existence d'un tel point dur dans la réalité à donné bien des désirs au assoiffé de vérité. Le structuralisme et sa sohorte ony tenté d'engoufrer toute la réalité dans cette petite porte. Seulement on a vu que cet absolu est loin d'être un absolu au sens classique du terme. La logique formelle n'est pas une réalité universelle à laquelle se soumet toute les réalités de la vie. Elle est bien davantage le constat d'une forme de la réalité. Son caractère absolu (ou plutôt fiable) ne convient qu'à lui même. Ce sont dans les mathématiques qui n'est que l'extension et la manipulation de la logique que se découvre la fiabilité. L'utilisation extérieure des mathématiques n'est que reconnaissances des formes mathématiques, il s'agit d'une modélisation. La fiabilité n'est alors pas un fait de principe, elle n'est qu'un constat empirique plus ou moins étendu.
Ainsi la découverte d'un absolu avec le formalisme retombe très vite en désillusion, car cet absolu n'existe que dans le formalisme.
C'est pourquoi au lieu de qualifier cette capacité à la fiabilité comme la découverte d'un absolu, il s'agit plutôt d'une forme distinctive d'un lieu de la trame. C'est d'ailleurs ce que nous avons observé en parlant d'univocité.
Il faut d'ailleurs bien comprendre la dimension limitée de cet absolu : il ne consiste qu'en manipulations symboliques. On pourrait dire que c'est une pratique comme une autre qui ne possède rien d'absolu. Si ce n'est qu'elle est non contradictoire et qu'elle est une forme étendue du réelle. Cette pratique non contradictoire possède donc quelque chose de bien réel.
Une autre limite de cet absolu est que la pratique n'est pas univoque, il existe plusieurs formalismes logiques non contradictoire, qui se chevauchent, qui s'excluent les uns les autres. Chaque logique est alors le lieu d'une expression non contradictoire qui diffère parfois les unes des autres. Cette limite montre bien davantage la nature purement localisé de l'absolu dont il est question. C'est devant un constat de ce genre que la nature de cet absolu apparaît avec relativité : c'est un constat de forme, c'est un constat de motif d'un lieu (ou plutôt de lieux) de la trame plus qu'une réalité parfaite supportant la trame. Maintenant dans l'idée d'absolu, il y a la perfection, et l'existence d'un langage qui n'est pas suspetible au glissement de sens et une découverte de forme qui l'on pourrait qualifier de suprenante par rapport au reste de la trame, et pourquoi pas de parfaite et d'absolu, ces termes n'engage que la forme logique.

La logique mathématique et la logique naïve.
La logique a fait des découvertes considérables, pour ne citer que deux exemple parmi les plus connus :
Gödel à montrer que tout système logique construit sur des bases classique, ne peut rendre compte de toute réalite. Autrement dit un système logique est toujours incomplet.
Cohen à montrer que certains axiomes pouvait ou non être ajouter un système logique sans que cela change les validité de l’un ou de l’autre. Autrement dit, plusieurs système de logiques classiques sont valides, il construisent des édifices différents.
De tels résultats, en leurs temps, ont eu un retentissement important dans les milieu philosophique. En effet l’application de tel résultat à la vie et à la philosophie est très tentant. Mais il faut tout de même relativiser la portée de ces résultats, et de cela on est pas toujours bien conscient . Ces résultats de la logique ne sont qu’une application de certains choix de logiques élémentaires, il ont leur existance dans un certain contexte, en particulier dans le contexte d'univocité.
De plus, il n'est loin d'être certains que l'on ait du mal à reconnaître les schémas initaux de cette règle pour pouvoir appliquer cette conlusion dans des contexte philosophique. Ces résultats sont la conséquence des leurs schéma initiaux.
Maintenant, il est vrai que ces choix sont une tentative de créer un contexte le plus simple et le plus adapté possible à la trame ; tout en permettant d’étudier lesdites questions. Dès lors si la généralisation philosophique n’est pas forcément de mise, elle conserve un aspect suggestif pour des réalité moins univoque. Rest à voir si la différenc entre les shéma initiaux ne sont pas top distant pour ne pas perdre toute consistance à la conclusion. Il faut donc beaucoup de prudence dans les dissertations philosophiques pour ne pas généraliser trop attivement.
Il est vrai que la logique, que les mathématiques apportent dans bien des domaines surprenant une approche très précise : par exemple dans la validité des raisonnements, dans les notions d’infinis, de hasard, etc… Seulement il faut être lucide sur l'établissement de ces conclusions. Elles reposent souvent sur ces fameuse règles hors sens dont nous avons parler (l'axiome du choix, je citerai aussi le concept de « la diagonale de cantor » consistant à définir une réalité par l'opposé de la totalité des autres. L'idée de totalité est un concept assez suspect pour prendre les conclusion avec un sens trop intégré à la trame). Par contre elles sont résolument des réalités mathématiques. Elles apportent des concepts philophique intéressant (des paradigmes), mais elles ne peuvent pas être appliquée à la logique naîve de la vie comme prolongatrice de fiabilité, faute d’avoir les même bases. Ce sont des apparences utiles et suggestives, bien que sans doute éloignée de l’usage qu’on leur prête.

l'exemple de l’infini
Le concept d’infini est un concept intéressant à plus d’un titre. C’est en mathématique qu’il a trouvé son existence la plus objective. Nous l’aborderont donc à titre d’exemple pour comprendre le lien qui existe entre le sens mathématiques et le sens commun.
Il faut savoir que les mathématiques ont construit l’infini. et non seulement l’infini, mais plusieurs infinis différents (et même une infinité). C’est à Cantor que l’on doit ces théories.
La réaction du bon sens est la suivante : l’infini est inaccessible à l’homme. Comment peut-il être présent dans les mathématiques. Comment peut-on dire tant de chose sur lui. Et même comment peut-on construire d’autres infinis ?
Cette réalité complexe de l’infini en mathématique révèle un trait caractéristique de la réalité mathématiques telle qu’elle est pratiqué maintenant. L’existence de l’infini repose uniquement sur certain mécanisme symbolique. Ces mécanisme définisse l’infini. L’infini (le plus simple) se note ?. Un des mécanismes élémentaire de cet infini est de vérifier la propriété suivante ? + 1=?. C’est avec de telle réalité symbolique que l’on défini l’infini. A-t-on vraiment créer l’infini ?
Le problème de l’infini a été abondament discuté par les spécialistes en leur temps au debut 20éme siècle quand on pris conscience que quelque symbole suffisait à exprimer une idée parfaite d’infini tout a fait cohérente. Je pense que l’explication est là : une idée mathématique cohérente. Les mathématique étant la science des forme et des règles, il me semble tout a fait envisageable de créer n’importe quel forme et en particulier une forme cohérente qui représenterait au mieux ce qu’on appelle l’infini. C’est là le pouvoir des mathématique, il ne doit pas créer de contenu, il doit seulement créer des formes et des règles. Les mathématiciens ont fait un choix de comportement, de d’environnement, de forme . Il faut comprendre que ce choix n’est en rien une necessité il est arbitraire il répond à juste à des critères qui doivent être cohérent (non contradictoire) et sont libre quant à leur forme.
Il suffisait de créer la forme de l’infini. Il ont crée une forme pour l’infini . Et même plusieurs… d’ailleurs isssue de la logique utilisée pour construire la forme.
Ce qui est réellement intéressant, ce que la forme de l’infini puisse être exprimé par une structure non contradictoire.
Mais on sent un hiatus avec le bon sens : l’idée d’infini la seule qui est satisfait l’évidence est la notion d’infini actuelle : le fait de réellement être infini.
Une interprétation psychologique des symboles mathématique peut dire que l’infini modélisé n’est autre qu’un infini potentiel : J’appelle infini le fait de pouvoir aller aussi loin que je veux. On remplacera donc la phrase « allons aussi loin qu’on veut » par allons jusqu’à l’infini. La création des autres infinis consiste juste à ajouter « et même encore plus loin si je le veux puisque rien ne m’en empêche ». Ainsi certains on contesté la réalité des infinis en mathématique.
En fait à ce problème il faudrait ajouter un autre problème beaucoup plus délicat que nous ne traiterons pas ici qui la démonstration diagonal de Cantor (à nouveau) montrant que l’ensemble des nombres à virgule qui ne s’arrête jamais, ne peuvent pas être mis en coïncidence avec les nombres qui s’arrête. Cantor a compris là qu’il y en avait plus. Mais une démonstration célèbre a montré que cette quantité n’avais pas de place déterminé dans la classement des infinis précédemment montré : comme si les deux conceptions de l’infini n’avait rien à voir. Plus précisément on peut les classer selon plusieurs choix possible. C’est un choix arbitraire, (et j’ajoute : comme si on ne mesurait pas des quantité mais des qualités étrangères). Cette liberté possible a fait date, car pour la première fois on trouvait une question mathématique dont la réponse était ni oui ni non.
Pour en revenir à l’infini, ces mots nous montre leur étrangeté dans le monde mathématique.
Mais on sait qu’en mathématiques les symboles sont désincarnés de sens. C’est nous qui leur donnons du sens. Chacun y verra donc ce qu’il veut y voir. Mais dans tout les cas, on ne peut pas dire que les mathématiques ait enfin exhibé objectivement l’infini de nos rêves.

Michaël Klopfenstein © 2007

La trame une image de la réalité.

Un regard philosophique sur Les mathématiques

La Science est recherche de la réalité objective partageable.

Le sens est le ressenti instantanné d'un tissu organisé de concepts formant une unité cohérente liée à la totalité de nos aquisitions (qui sont pour chacun un autre sens).